三角函数错题解析

3sin3?sin(??2?)sin?cos??cos??sin2?13???cos2??2cos2??sin?sin?5 [考场错解] 填±4∵sin?∴

38443sin2?32cos2??,?cosf2??,?sin2???1?co22???1?()2??.?tan2???5?tan2???.45555cos2?45

? [考场错解] (1)由2sinxcosx=-24251sinx+cosx=5，平方得sin

2

1x+ 2sinxcosx+cos2x=(5)2，即

.

(?127204)(2?)??.255125

[专家把脉] 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误．即由

2sin2x?sinx?12sinxcosx?cosxsinx=sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为

2sin2 =1+cosx，用错了公式，

因为 2sin2 =1-cosx．因此原式化简结果是错误的．

[对症下药]解法1(1)由2sinxcosx=-24251sinx+cosx=5，平方得sinx+2sinxcosx+cosx=

22

125即

．

2449?2525?∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- 20，

3?sinx????5???cosx?45?∵-2

7sinx-cosx=-5

3sin2( 2 )

xxxxx?2sincos?cos22sin2?sinx?12222?2sinxcosxtanx?cotx?cosxsinx=sinxcosx(2-cosx-sinx)=

将tanα=-

23代入上式得

sin(2α

22(?)1?(?)2333??6?53??221?(?2)213261?(?)233+3)=

将tanα即

111?()2?322?4?33sin(2??)??11321?(1)2101?()222=2时代入上式得

sin(2???3)??654?33?3或132610

于是tan??0，

tan???2???sin(2??)?sin2??cos?cos2?sin3，333?sin??cos?

3sin??cos?3cos2??sin2?22?(cos??sin?)???2cos2??sin2?2cos2??sin2?tan?31?tan2???21?tan?21?tan2? 将

tan???23代入上式得sin(2α

22(?)1?()236533???3?2222132621?(?)1?(?)333+)=

f(x)?[考场错解] ∵最大值为1，

xx?asincos(??)?22(1?a)sinx4sin(?x)2=22∵sinx的

1?cos2x1a??2∴22．∴a=3

[专家把脉] 上面解答在三角恒等变形中，用错了两个公式：①1+cos2x≠

?2sin2x；②sin(2+x)≠sinx因为 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1．∴1+cos2x=2cos2x．由诱

?导公式“奇变偶不变”知sin(2+x)=cosx．

2cos2xxx111a2?asincos?cosx?asinx??sin(x?y)f(x)222244[对症下药] ∵=4cosx其中角?sin??1a2?1?a2由已知有44=4，解之得，a=?15

1满足

命题角度3 三角函数的综合应用

1．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0．

(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数； (Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?

?? [考场错解] 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sinθ2 cosθ=sin2θ(4≤θ<2)．

??arccos5,当sin(2???)5=1，即2θ

??-?=2时，S最大．∴当θ=4?125ARCCOS25时，S最

大， S的最大值为

5?1

2．

解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ2cosθ=2cos2θ+sin2θ．