高等数学第八章

三、典型例题解析

例1 求??a2?x2?y2dxdy，其中D?{(x,y)|x2?y2?a2,x?0,y?0,a?0}．

D分析 f(x,y)?a2?x2?y2在D上非负，如图8－1所示，其对应图形是以原点为中心、a为半径的上半球面；D是以xOy面上原点为中心、a为半径的圆域在第一象限的部分．根据被积函数和积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算．

解法1 根据二重积分的几何意义，??a?x?ydxdy就是以原点为中心、a为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以

D222azaoyDax图8－1 ??D141a2?x2?y2dxdy???a3??a3．

836解法2 采用极坐标直接进行计算．

令x??cos?,y??sin?,则D?{(x,y)|0???a,0???}．

2???Da?x?ydxdy???D222a1?a???d?d????2d??a2??2d(a2??2)

0202231?22?2122a???[(a??)]0?(?)?(?a3)??a3．

223436例2 设积分区域D由圆(x?2)2?(y?1)2?1所围成，且Ik???(x?y)kdxdy(k?1,2,3)，

D则（ ）．

A．I1?I2?I3． B．I1?I2?I3． C．I1?I3?I2． D．I3?I1?I2． 分析 要比较二重积分值的大小，根据性质4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较．

解 选B．如图8－2所示，当(x,y)?D时，1?x?3，0?y?2．因此，1?x?y?5,故有

1?(x?y)?(x?y)2?(x?y)3,

y(x?2)2?(y?1)2?121o12x 图8－2

r?0由二重积分的性质即得I1?I2?I3．

例3 设D?(x,y)x2?y2?r2．试计算极限lim???1?r2x??eD2?y2cos(x?y)dxdy．

分析 此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理来求解． 解 区域D的面积为SD??r2．因为f(x,y)?ex分中值定理可知，至少存在一点(?,?)?D,使得

2?y2cos(x?y)在闭区域D上连续，由积

1?r2x??eD2?y2cos(x?y)dxdy?1?2??2?2??2ecos(???)?S?ecos(???)． D?r2令r?0?，则(?,?)?(0,0)，故

lim?1?r2x??eD2?y2r?0cos(x?y)dxdy=

(?,?)?(0,0)lime?2??2cos(???)=1．

例4 利用重积分的性质估计积分I???1d?的值，其中 2100?cosx?cosyD2 D?{(x,y)|x?y?10}．

分析 根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计． 解法1 利用被积函数在积分区域上的单调性估值．积分区域如图8－3所示．由于

0?cos2x?1，0?cos2y?1，

故有100?100?cos2x?cos2y?102,因此

111， ??22102100?cosx?cosy100区域D的面积??200,根据二重积分的性质可知

10y10o10x10 图8－3

100200200??I??2. 51102100解法2 利用二重积分的中值定理估值．由于被积函数在区域D上连续，故在D上至少

1存在一点(?,?)，使得I??，又因为

100?cos2??cos2?111??,??200, 102100?cos2??cos2?100所以

100200200??I??2． 51102100D例5 将二重积分I???f(x,y)dxdy化为二次积分，其中区域D： （1）由抛物线y?x2?1及直线y?1?x所围成； （2）由x?0与曲线y?x2?1以及y?2x所围成．

解 （1）区域D如图8－4所示．下面用两种方法来求解．

y解法1 若将区域D看作X?型区域，即先对y积分，再对x积分，首先将区域D向x轴投影，得x轴上的区间

2y?x2?1[?2,1],则变量x满足?2?x?1,过区间[?2,1]上的任一点x作

平行于y轴的直线由下往上穿过区域D，穿入D时经过的边界曲线方程为y?x2?1，穿出D时经过的边界曲线方程为y?1?x,则y满足x2?1?y?1?x，即

?2?11o12x?1y?1?x 图8－4