1(本小题满分14分) 已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值。 （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?4； （Ⅲ）若过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。 【解析】（Ⅰ）f'(x)?3ax?2bx?3，依题意，f'(1)?f'(?1)?0， …………1分
即?232?3a?2b?3?03，解得a?1,b?0,?f(x)?x?3x …………………3分
?3a?2b?3?0经检验符合。
（Ⅱ）?f(x)?x?3x,?f'(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)
当?1?x?1时，f'(x)?0，故f(x)在区间[?1,1]上为减函数，
33fmax(x)?f(?1)?2,fmin(x)?f(1)??2 ……………………5分
∵对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2， 都有|f(x1)?f(x2)|?|fmax(x)?fmin(x)|
?|f(x1)?f(x2)|?|fmax(x)?fmin(x)|?|2?(?2)|?4 …………………………7分
（Ⅲ）f'(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)，
∵曲线方程为y?x?3x，∴点A(1,m)不在曲线上，
3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0。
323x0?3x0?m因f'(x0)?3(x?1)，故切线的斜率为3(x?1)?，
x0?1202032整理得2x0?3x0?m?3?0。
32∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线∴关于x0的方程2x0?3x0?m?3?0有三个实
根. ……………………9分
322设g(x0)?2x0?3x0?m?3，则g?(x0)?gx0?6x0，
2.已知函数f(x)?lnx?a,g(x)?f(x)?ax?6lnx，其中a?R . x（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围； （Ⅲ）设函数h(x)?x2?mx?4, 当a?2时，若?x1?(0,1)，?x2?[1,2]，总有
g(x1)?h(x2)成立，求实数m的取值范围．
21、【解题指导】（1）第1问，一般利用导数来求函数的单调性，注意分类讨论；（2）第2问，一般转化为一个恒成立问题解决，最好利用分离参数法解答；（3）第3问实际上就是最值问题，等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”，所以先分别求出两个函数的最大值即可。 【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，且f'(x)?x?a， --------1分 x2①当a?0时，f'(x)?0，f(x)在(0,??)上单调递增； ----2分 ②当a?0时，由f'(x)?0，得x??a；由f'(x)?0，得x??a； 故f(x)在(0,?a)上单调递减，在(?a,??)上单调递增. ----4分 （Ⅱ）g(x)?ax?a?5lnx，g(x)的定义域为(0,??) xa5ax2?5x?ag'(x)?a?2?? -----5分 xxx2因为g(x)在其定义域内为增函数，所以?x?(0,??)，g'(x)?0 ?ax2?5x?a?0?a(x2?1)?5x?a?而5x?5x??a? 22??x?1?x?1?max5x55，当且仅当x?1时取等号， ??x2?1x?12x5所以a? ---8分 22x2?5x?22（Ⅲ）当a?2时，g(x)?2x??5lnx，g'(x)? 2xx由g'(x)?0得x?1或x?2 2当x?(0,)时，g'(x)?0；当x?(,1)时，g'(x)?0. 所以在(0,1)上，g(x)max?g()??3?5ln2 ----10分 而“?x1?(0,1)，?x2?[1,2]，总有g(x1)?h(x2)成立”等价于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值” 而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)} 121212?1g()?h(1)??2所以有? -------------------------12分 1?g()?h(2)??2?m?8?5ln2??3?5ln2?5?m????m?8?5ln2 ??1m?(11?5ln2)??3?5ln2?8?2m?2?所以实数m的取值范围是[8?5ln2, ??)----------------------------------13分
3.已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1， （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)?0 恒成立，试确定实数k的取值范围；
ln2ln3ln4lnnn(n?1)*（n?N且n?1） ???L?345n?14解析:该题通过求函数f(x)的单调区间考查用导数研究函数的单调性、对数函数性质、导数的运用、分类讨论;通过研究不等式f(x)?0 恒成立考查单调性在不等式方面的应用;
（3）证明：
（3）考查学生利用已知结论转化问题的能力以及增加利用导数研究不等式的意识;该题属于较难题.
解:（1）f(x)?'1?k,(x?1),所以, x?11当k?0时,f'(x)?0;当k?0时,由f'(x)?0得:x?1?,所以,
k当k?0时f(x)在?1,???上为增函数；
当k?0时f(x)在?1,1???1??1?1?,??上为增函数；在???上为减函数；
k??k?[来源高&考%资(源#网KS5U.COM]
（2）因为f(x)?0 恒成立,所以, ?x?1,ln(x?1)?k(x?1)?1?0,
??x?1,ln(x?1)?k(x?1)?1,所以,k>0,
4.重庆市西南大学附属中学2012届高三第二次月考数学试题解析
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