第三类，从其余6点中选2点，可以确定 所以共可以确定 法二：间接法
从10个点中任意取2个点的取法有
种，
条；
（条）
其中重复计数的取法包括共线4点只能确定1条直线； 因此，共可以确定
（条）
【变式2】平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．可以确定多少个三角形？ 【答案】116；
法一：由于不在同一条直线上的三点可确定三角形，分三类： 第一类，从其余6点中选3点，可以确定
个；
个； 个；
第二类，从其余6点中选1点，共线4点中选2点，可以确定 第三类，从其余6点中选2点，共线4点中选1点，可以确定 所以共可确定三角形 法二：间接法
从10个点中任意取3个点的取法有 其中共线4点不能确定三角形； 因此，共可以确定定三角形
（个）。 种，
（个）
【变式3】平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．可以确定多少个四边形？ 【答案】由于四边形有4个顶点，且任意三个顶点不共线， 则可确定四边形
【变式4】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）。 A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
【答案】取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决，另外，也可以采用间接思路。 法一：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台有 从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有 所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各1台的取法共有 法二：从所有的9台电视机中取3台有 全部为乙型的有
种取法，其中全部为甲型的有
种取法，
种。
种取法， 种取法，
种。
（个）或
（个）
种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有
类型五：排列组合的综合应用
5．从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项不同的工作，一共有多
少种分配工作的方法？
“选出2个女同学”
“对选出的5个人进行不
思路点拨：要完成分配工作这一事件，必须依次完成“选出3个男同学”同的工作分配”这一流程． 解析：分三步完成事件：
第一步：选出3个男同学的方法有 第二步：选2个女同学有
种；
种方法；
种方法．
（种）．
第三步：对选出的5个人进行分配工作有 根据分步计数原理，一共有分配方法
总结升华：处理排列、组合的综合性问题，一般方法是先按元素的性质“分类”（相当于“布局”），再按事件发生的连续过程分步；若既有排列也有组合，先选后排，这是处理排列、组合问题的基本方法和原理．
举一反三：
【变式1】对某种产品的6只不同正品和4只不同次品一一测试，若所有次品恰好在第六次测试时被全部发现，这样的测试方法有多少种？ 【答案】
；
种方法，
种方法．
先选1个次品在第六次测试的位置上，有
再选2只正品与剩下的3只次品进行全排列，有 所以符合条件的方法有
（种）．
【变式2】有4名男生5名女生一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？ 【答案】
；
由题意可知，有且仅有2名女生要分在同一个班，故有
【变式3】甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到有安排方法 种；（2）甲、乙两人同时参加 【答案】240，6； 然后分步完成：
第一步：先从5人中选2人，有方法 再将四组人安排到岗位上，有方法 共有安排方法 （2）甲、乙两人同时参加
种；
岗位相当于3人的全排列，有方法
种。
种， 种，
（种）．
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）共
岗位服务的安排方法 种。 （1）先分类：四个不同岗位的服务人数分别为：2、1、1、1，
类型六：分配问题
6．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人．
（1）甲得2本，乙得2本，丙得2本，有多少种分法？ （2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？ （3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？ 解析：
（1）分三步完成：
第一步：甲从6本不同的书中选取2本有 第二步：乙从剩下的4本中去取2本书有
种方法， 种方法，
种方法． 种．
第三步：丙从剩下的2本中去取2本书就只有 所以依据分布计数原理，共有分法
（2）这里没有指明谁得1本，谁得2本，谁得3本， 而要确定甲、乙、丙三人每人得书的本数有 所以共有分法
（种）．
种方法．
（3）设把6本不同的书平均分成三推每堆2本有x种方法， 那么把6本书分给甲、乙、丙三人每人2本就有 （因为每次分成三堆后，再分给三个人有
种方法
种分法），
种．
而把6本书分给甲、乙、丙三人每人2本的方法有 于是
∴ （种）
总结升华：一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。
举一反三：
【变式1】把6本不同的书分成三堆，一堆4本，另二堆各1本那么共有 种。
【答案】15；
。
【变式2】4个男同学和4个女同学各平均分成两组，每组2人，到4所不同的学校去学习．如果同样两人在不同的学校算作不同的情况，那么共有多少种不同的分配方法？ 【答案】 分三步完成:
；
第一步：把4个男同学平均分成两组有种方法，
第二步：把4个女同学平均分成两组有种方法，
种方法．
第三步：把四个组分配到4所不同的学校去学习有
根据分步计数原理，共有不同的方法
（种）．
类型七：二项式定理
7．设展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项。
解析：，。
由，化简得，
∴，∴n=9。
∴ 总结升华：
。
（1）本题是应用二项式定理通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项。 （2）本题的解题思路实质是利用方程思想，列出方程，解出n，这是解本题的关键。
举一反三： 【变式1】二项式
的展开式中系数为有理数的项有多少项？
【答案】这个二项展开式的通项为 由题意， 由于
是有理数。
。
为正整数，而2与3又互质，
所以为有理数的充要条件是与均为整数，即与均为整数，
从而r为6的倍数，因为0≤r≤50，r∈N，
所以，若设满足条件的r有m个，则r1=0，d=6，rm=48，即6(m－1)=48，∴m=9， 即满足条件的r有9个，从而在这个展开式中系数为有理数的项有9项。
【变式2】求
展开式中系数最大的项。
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