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题点 基底的判定 ★答案★ B
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.
反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 1
B．2e1－e2，e1－e2
2C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1＋3e2 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 ★答案★ D
解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向1
e1－e2?，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，量；选项B中，2e1－e2＝2?2??为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合． 类型二 用基底表示向量
→→
例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以→→
a，b为基底表示DE，BF.
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考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， →→→→→→∴AD＝BC＝2BE，BA＝CD＝2CF， 1→1→1→1→1→
∴BE＝AD＝b，CF＝BA＝－AB＝－a.
22222→→→→→→→
∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE 11
＝－b＋a＋b＝a－b，
221→→→→→
BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－a.
2引申探究
→→→→
若本例中其他条件不变，设DE＝a，BF＝b，试以a，b为基底表示AB，AD. 解 取CF的中点G，连接EG.
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∵E，G分别为BC，CF的中点， →1→1∴EG＝BF＝b，
221→→→
∴DG＝DE＋EG＝a＋b.
2→3→3→又∵DG＝DC＝AB，
44
142→4→4
a＋b?＝a＋b. ∴AB＝DG＝?2?3333?→→→→→1→→1→
又∵AD＝BC＝BF＋FC＝BF＋DC＝BF＋AB，
22142?→→
a＋b ∴AD＝BC＝b＋?2?33?24
＝a＋b. 33
反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
→→
跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE→
＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
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考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 4
★答案★
3
→→
解析 设AB＝a，AD＝b， 1→1→
则AE＝a＋b，AF＝a＋b，
22→
又∵AC＝a＋b，
24→2→→
∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
333
类型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角
→→
解 如图，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作?OACB，
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