课时跟踪检测（十四）
1．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独111
立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
234
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝?1－?×?1－?×?1－?＝，
234
??
1??
??
1?
???
1?1?41?
P(X＝1)＝×?1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝，
342423
1?
2?
1?
???
1??
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1?3?
1?
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1??
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1?
?
111424
P(X＝2)＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝，
234P(X＝3)＝××＝.
所以随机变量X的分布列为：
1123
11424
??
1?1?311?42?1?111??423?1?1?4
X P 0 1 41 11 242 1 43 1 241111113
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
42442412
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 11111111
＝×＋×＝. 42424448
11
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
48
2．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
旧养殖法 新养殖法 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．
附：
K＝
2
a＋bnad－bc2
c＋da＋cb＋d.
解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)由(1)知可得列联表
旧养殖法 新养殖法 箱产量<50 kg 62 34 箱产量≥50 kg 38 66 由表中数据及K的计算公式得， 200×62×66－34×38K＝
100×100×96×104
2
2
2
≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 0.5－0.34故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．
0.068
3．(2017·洛阳统考)雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对甲、乙、丙三个城市进行治霾落实情况抽查．
(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
(2)若每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，且每个专家组给检查到1
的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复2检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．
解：(1)随机选取，共有3＝81种不同结果，
恰有一个城市没有专家组选取的有C3(C4A2＋C4)＝42种不同结果， 4214
故恰有一个城市没有专家组选取的概率为＝.
8127
1
12
2
4
?1?415X的所有可能取值为0,1,2,3，
(2)设事件A：“某城市需复检”，则P(A)＝1－??＝，
?2?16
X～B?3，?，
16
??
15??
P(X＝0)＝??3＝
16
?1???
1
， 4 096
45
， 4 096
2
P(X＝1)＝C1×??＝3×
16
15?1?16??
2
P(X＝2)＝C2×＝3×??16
?15???
1675
，
164 096
P(X＝3)＝??3＝
16
?15???
3 375
. 4 096
所以X的分布列为
X P E(X)＝3×＝.
15451616
0 1 4 0961 45 4 0962 675 4 0963 3 375 4 0964．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 116
经计算得x＝?xi＝9.97，s＝
16i＝1
116
xi－x16i?＝1
2
2
＝
?1?2???x2
i－16x?16?i＝1
16
??
≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
^^
用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计^^^^
值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－3σ 解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 4≈0.040 8. 16 16 2 X的数学期望为EX＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． ^^ ②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由
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