方案设计型问题

初二数学优质专题学案（附经典解析）

方案设计型问题

二、方法剖析与提炼

1．方程（组）型

例1．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．

（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 【解答】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．

根据题意得 ． 解得 ． 检验：

答： ． （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 方案一：由甲工程队单独完成．

所需费用为： ． 方案二：由甲乙两队合作完成．

所需费用为： ．

【解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，根据“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，可得乙工程队单独完成该工程需（x+25）天． （2）根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可列出方程组，从而求得甲、乙两个工程队单独完成各需多少天． 【解法】列方程解应用题．

检验应考虑两方面：一是所求得的解是否满足方程，二是此解是否符合题意. 1

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【解释】本题是以方程为模型解决方案设计型问题．（1）了解试题所选取的生活背景；（2）认真分析、弄清题目意思，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键；（3）根据题目中所隐含的等量关系来建立合适的方程模型；（4）通过解方程来确定方案设计．

2．不等式（组）型

例2.（2020嘉兴）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？

【解答】（1）设每辆A型车售价x万元，每辆B型车售价y万元， 根据题意可列方程组， . 解得 ．

答： . （2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆， 根据题意得不等式组, 解得 ． ∵a是整数， ∴a= ． ∴有以下方案：

【解析】本题第(1)题,抓住关键句子“1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元”，得到两个相等关系，从而列出二元一次方程组；第（2）题则是根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”中的两个不等关系，列出

找出题目中的不等关系是正确列出不等式组的关键；由不等式组的整数解可确定购车方案. 2

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不等式组，解出不等式组，再由题目的隐含条件是车辆数必须是非负整数，从而得出所列不等式组的整数解，从而确定购车方案． 【解法】列方程解应用题、列不等式组解应用题．

【解释】本题是以不等式组为模型解决方案设计型问题．认真分析、弄清题目意思，找到关键描述语，找出不等量关系是解决问题的关键；根据题目隐含条件，求出所列不等式组的整数解，从而确定方案设计． 3．综合型

例3.周末某企业准备组织48名员工到一水上乐园坐船游园，游船租金价格表如下：

船型 大船 小船 每只限载人数（人） 5 3 租金（元） 60 40 那么，在不能超载的情况下，怎样设计租船方案才能使所付租金最少？ 【解答】有三种方案，分别是只租大船、只租小船、既租大船又租小船．下面分情况讨论：

方案（1）：如果只租大船，租大船的只数为大船10只，所需租金为60×10=600（元）

方案（2）：如果只租小船，租小船的只数为（元）

方案（3）：如果既租大船又租小船，设租大船x只，小船y只，所付租金w元，由题意得

?5x?3y?48??w?60x?40y ?0?5x?48?48=9.6，由于不能超载，故租548=16，所需租金为40×16=64035由5x?3y?48，得y??x?16，将其代入w?60x?40y中，得

3w??20x?640 320?0，∴w随x的增大而减小 33

∵?

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由0?5x?48，得0?x?9.6，由于x为整数，故当x=9时，w的值最小，最小值w??205?9?640?580（元），此时y???9?16=1 33即租用9条大船，1条小船，所付租金最少，最少租金为580元． 综上分析，由于580<600<640，故采取方案（3），即租用9条大船，1条小船，所付租金最少．

【解析】（1）根据题意，得出有三种方案，分别是只租大船、只租小船、既租大船又租小船；（2）租大船的只数为

48=9.6，由于不能超载，故租大船10只；5（3）所需租金等于租金乘以租船的只数；（4）如果既租大船，又租小船，根据总人数为48，所付租金等于租大船的金额与租小船的金额之和，列出相关的方程、不等式和函数．

【解法】分类讨论法、列方程、列不等式、函数等．

【解释】本题综合利用方程、不等式、一次函数等知识解题，综合性较强，经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程，认真理解题意，根据现实背景，列出方程、不等式及一次函数表达式是关键．另外，解答时注意题目的隐含条件是船的只数必须是非负整数．

三、能力训练与拓展

1．某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5． （1）求出该班男生与女生的人数；

（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？

2. 某班组织活动，班委会准备将15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品．已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件．

(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的函数表达式． (2)有多少种购买方案？请列举出所有可能的结果．

(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的

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