第2讲 数列求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；
??an??
(2)求数列?2n＋1?的前
????
n项和.
解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，② 2
①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，
2n－1又n＝1时，a1＝2适合上式，
2
从而{an}的通项公式为an＝. 2n－1
??an??
(2)记?2n＋1?的前n项和为Sn，
????
an211
由(1)知＝＝－，
2n＋1（2n－1）（2n＋1）2n－12n＋1
1?1??11??1?
则Sn＝?1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－1－2n＋1?
??????12n
＝1－＝.
2n＋12n＋1
2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；
?bn?(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列?a?
?n?
的前n项和Tn.
解 (1)设{an}的公比为q， ?a1（1＋q）＝6，由题意知?2 2
?a1q＝a1q，
又an>0，
?a1＝2，解得?所以an＝2n.
?q＝2，
（2n＋1）（b1＋b2n＋1）
(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
2又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1.
2n＋1bn
令cn＝a，则cn＝2n，
n
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
2n－12n＋1357
＝2＋22＋23＋…＋n－1＋2n，
22n－12n＋11357
又2Tn＝22＋23＋24＋…＋2n＋n＋1，
21?2n＋113?11
两式相减得2Tn＝2＋?2＋22＋…＋2n－1?－n＋1，
??22n＋5
所以Tn＝5－2n. 考 点 整 合
?S1 （n＝1），
1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝?
?Sn－Sn－1 （n≥2）.
(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误. 2.数列求和
(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加
??c??
抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如?aa?(其中{an}是各项均不为
?nn＋1???
零的等差数列，c为常数)的数列.
温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.
热点一 an与Sn的关系问题
【例1】 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 解 (1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*， 所以an＋1＝5Sn＋1＋1， 1
两式相减，得an＋1＝－4an，
1
又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－4， 1
所以数列{an}是公比、首项均为－4的等比数列. ?1?所以数列{an}的通项公式an＝?－4?.
??(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1， 数列{bn}的前n项和Tn＝n2， cn＝
bn＋12n＋111
＝2， 2＝2－TnTn＋1n（n＋1）n（n＋1）2n
bn＋1
. TnTn＋1
1
所以An＝1－.
（n＋1）2因此{An}是单调递增数列，
13
∴当n＝1时，An有最小值A1＝1－4＝4；An没有最大值.
探究提高 1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列.
【训练1】(2018·安徽江南名校联考)已知数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足2(Sn＋1)＝(n＋3)an. (1)求数列{an}的通项公式；
1(2)设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.
anan＋1(1)解 2(Sn＋1)＝(n＋3)an，① 当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝(n＋2)an－1，② ①－②得，(n＋1)an＝(n＋2)an－1， an－1ana11
所以＝(n≥2)，又∵＝，
n＋2n＋11＋23
??an??1
故?n＋2?是首项为3的常数列. ????
1
所以an＝3(n＋2). (2)证明 由(1)知，
1?19?1
bn＝＝＝9?n＋2－n＋3?.
anan＋1（n＋2）（n＋3）??∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
1????11??11??1
－＝9??3－4?＋?4－5?＋…＋?n＋2n＋3??
????????1?9?1
＝9?3－n＋3?＝3－<3. n＋3??热点二 数列的求和 考法1 分组转化求和
【例2－1】(2018·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
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