实验报告
课程名称： 工程电磁场与波 指导老师： 成绩： 实验名称： 球形载流线圈的场分布与自感 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 八、磁通球磁场的其他解法
一、实验目的和要求 1.研究球形载流线圈（磁通球）的典型磁场分布及其自感参数。 2.掌握工程上测量磁场的两种基本方法──感应电势法和霍耳效应法。 3.在理论分析与实验研究相结合的基础上，力求深化对磁场边值问题、自感参数和磁场测量方法等知识点的理解，熟悉霍耳效应高斯计的应用。 二、实验内容和原理 1.实验内容 （1）测量磁通球轴线上磁感应强度B的分布。 （2）探测磁通球外部磁场的分布。 （3）磁通球自感系数L的实测值。 （4）观察磁通球的电压、电流间的相位关系。 2.实验原理 （1）球形载流线圈（磁通球）的磁场分析
图1 球形载流线圈（磁通球）
图2 呈轴对称性的场域计算
如图1所示，当在z向具有均匀的匝数密度分布的球形线圈中通以正弦电流i时，可等效看作为流经球表面层的面电流密度??的分布。显然，其等效原则在于载流安匝不变，即如设沿球表面的线匝密度分布为W′，则在与元长度对应的球
面弧元Rdθ上，应有
N
W′Rdθ i= dz i
2R
因在球面上，，所以
dz = d Rcosθ =Rsinθdθ 代入上式，可知对应于球面上线匝密度分布W′，应有
N
W=
′2R
?RsinθdθRdθ
N=sinθ 2R
即沿球表面，该载流线圈的线匝密度分布W′正比于sinθ，呈正弦分布。因此，本实验模拟的在球表面上等效的面电流密度??的分布为
N??=i?sinθ?????
2R
由上式可见，面电流密度??周向分布，且其值正比于sinθ。 因为，在由球面上面电流密度??所界定的球内外轴对称场域中，没有自由电流的分布, 所以，可采用标量磁位φm为待求场量，列出待求的边值问题如下： 泛定方程：
?2φm1 r,θ =0 r??
BC：
Ht1?Ht2=Hθ1?Hθ2=Kn=2Risinθ r=R
Bn1=Bn2→μ0Hr1=μ0Hr2 r=R
φm1|r=0=0 ??2|r→∞=??φm2|r→∞=0
上式中泛定方程为拉普拉斯方程，定解条件由球表面处的辅助边界条件、标量磁位的参考点，以及离该磁通球无限远处磁场衰减为零的物理条件所组成。 通过求解球坐标系下这一边值问题，可得标量磁位φm1和φm2的解答，然后，最终得磁通球内外磁场强度为
Ni
cosθ?????sinθ???? r
和
NiR3
??2=??φm2= 2cosθ????+sinθ???? r>?? 1?2
6Rr
基于标量磁位或磁场强度的解答，即可描绘出磁通球内外的磁场线分布，如图3所示。 由上述理论分析和场图可见，这一典型磁场分布的特点是：
N
图3 场图（H线分布）
图4 磁通?的计算用图
（i）球内H1为均匀场，其取向与磁通球的对称轴（z轴）一致，即
NiNi cosθ?????sinθ???? =??1=??=H1???? 1?3 3R3R??
（ii）球外H2等同于球心处一个磁偶极子的磁场。 （2）球形载流线圈自感系数L的分析计算 在已知磁通球的磁场分布的情况下，显然就不难算出其自感系数L。现首先分析如图4所示位于球表面周向一匝线圈中所交链的磁通?，即
2???B?dS??0H1?π?Rsin??????S
然后，便可分析对应于球表面上由弧元Rdθ′所界定的线匝dW所交链的磁通链dψ
?N?d??dW??????sin????Rd???2R?
这样，总磁通链ψ就可由全部线匝覆盖的范围，即θ′由0到π的积分求得
???d??Li
最终得该磁通球自感系数L的理论计算值为
2
L=πN2μ0R 1?4
9
在本实验研究中，磁通球自感系数L的实测值可通过测量相应的电压、电流来确定。显然，如果外施电源频率足够高，则任何电感线圈电阻在入端阻抗中所起的作用可被忽略。此时，其入端电压和电流之间的相位差约等于90°，即可看成一个纯电感线圈。这样，由实测入端电压峰值与电流峰值之比值，即可获得感抗ωL的实测值，由此便得L的实测值。 （3）感应电势法测磁感应强度 若把一个很小的探测线圈放置在由交变电流激磁的时变磁场中，则根据法拉第电磁感应定律，该探测线圈中的感应电动势
dψe=? 1?5
dt
式中，ψ为与探测线圈交链的磁通链。 如果测试线圈的轴线与磁场方向相一致，且磁场由正弦交变电流激励，那么，对应于式 1?5 的有效值关系为
E=ωψ=2πfN1?
由于探测线圈所占据的空间范围很小，故该线圈内的磁场可近似认为是均匀的，
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