[整理]函数列与函数项级数

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?bafn??f ? ?|fn?f|, 可见只要|fn(x)?f(x)| ? aabb?b?a在[ a , b ]上成立.

Th2的条件可减弱为: 用条件“fn(x)在[ a , b ]上( R )可积”代替条件“fn(x)在

[ a , b ]上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P350.

关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:

Th 设{fn(x)}是定义在区间[ a , b ]上的函数列. 若{fn(x)}在[ a , b ]上收敛且一致可积 , 则其极限函数f(x)在[ a , b ]上( R)可积 , 且有 limn??a?bfn??f.

ab参阅: 马振民 , ( R)可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然 科学版）1988.№4. 3. 可微性:

Th 3 设函数列{fn(x)}定义在区间[ a , b ]上, 在某个点x0?[ a , b ]收敛. 对?n,

fn(x)在[ a , b ]上连续可导, 且由导函数构成的函数列{fn?(x)}在[ a , b ]上一致收敛,

则函数列{fn(x)}在区间[ a , b ]上收敛, 且有

ddlimfn(x)?limfn(x).

n??dxdxn??????????证 设fn(x0)?A，( n?? ). fn?(x)g(x) , ( n?? ).

对?x?[ a , b ], 注意到函数g(x)连续和 fn(x)?fn(x0)+ limfn(x)?limfn(x0) + limn??n???xx0fn?(t)dt, 就有

n???xx0 fn?(t)dt? （ 对第二项交换极限与积分次序）

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? A +

?xx0n???limf?(t)?dt? A +?nxx0g(t)dt??f(x).

x令?估计 |fn(x0)+

?xx0fn?(t)dt ― A ― ?g(t)dt| ?

x0 ?|fn(x0)―A| + |

??f?(t)?g(t)?dt|, 可证得fx0nxn(x)??????f(x).

?

?xd?? f?(x)??A??g(t)dt??g(x)?limfn?(x)?limfn(x).

xn??n??0??dx即

ddfn(x). 亦即求导运算与极限运算次序可换. limfn(x)?limn??n??dxdx例1 [1]P49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )

??例2 [1]P50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )

Ex [1] P52 1，2.

二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:

把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果. 参阅[1]P51 Th13.11—13.13.

例3 [1]P51 E3

例4 证明函数f(x)??nen?1??nx在区间( 0 , ?? )内连续.

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?证 ( 先证

?nen?1?nx在区间( 0 , ?? )内闭一致收敛.)对?0?a?b???，有

0?ne?nx?ne?na，x?[ a , b ]；又

?ne?na???，??ne?nx在[ a , b ]一致收敛.

n?1?( 次证对?x0?( 0 , ?? ), f(x)在点x0连续 ) 对?x0?( 0 , ?? ), 由上段讨论 ,

?ne?nx在区间[ n?1?x0 , 2x0 ]上一致收敛; 又函数ne?nx连续, ? f(x)在区间2[ x0 , 2x0 ]上连续, ? f(x)在点x0连续. 由点x0的任意性, f(x)在区间2( 0 , ?? )内连续.

例5

例6 S(x)??nn?1?xn?1n, x?[ ?1 , 1 ]. 计算积分

?x0S(t)dt.

Ex

[1]P52—53 3—8，9⑴，10 .

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