证明 由于X紧致，故根据定理7．1．4可见f（X）是实数空间R中的一个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以f(X)是一个闭集．设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则m，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈X使得f(x0)＝m和f(x1)=M．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f（x0）≤f(x)≤f(x1).
此外，由于m维单位球面间
是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空
不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：
定理7.3.5 设m，n∈Z+．则m维单位球面
与n维欧氏空间
不同胚．
这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子． 作业:
P196 1. 2.
§7.4 几种紧致性以及其间的关系
本节重点:
掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．
读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间
中的一个子集A
如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．
（l）A是一个有界闭集；
（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖； （3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；
（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．
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这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了．不难发现这四条中以惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站．
（5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．
定义7.4.l 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．
以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证． 定理7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间．
定理7.4.2 每一个Lindeloff的可数紧致空间都是紧致空间．
定义7.4.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间．
定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．
证明 设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于每一个a∈A，由于a不是A的凝聚点，所以存在a的一个开邻域 ∩A={a}．于是集族{
|a∈A}∪{
使得
}是X的一个开覆盖．由于X是可数紧致
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空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为{所以{
A=(矛盾．
定义7.4.3 设
}必定覆盖A．因此，
} 由于与A无交，
)∩A={a1,a2,?an}是一个有限集．这是一个
是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：
对于每一个i∈Z+成立，即
则称序列
是一个下降序列．
在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．
引理7.4.4 设X是一个拓扑空间．则拓扑空间X是一个可数紧致空间当且仅当由X中任何一个非空闭集下降序列
证明 设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列
于是
由此可得
这是一个矛盾．
另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆盖，设为{ 有限子覆盖．对于每一个i∈Z+，令
}，没有
是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{
}使得
，有非空的交，即
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则{
}也是X的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：因此
是一个非空闭集下降序列，所以
．也就是说{
．由此
可见
}不是X的一个覆盖，这是一个矛盾．
定理7.4.5 每一个列紧的证明 设X是一个列紧的
空间都是可数紧致空间．
空间．如果X不是一个可数紧致空间，则根据
,使得}
在每一个
引理7.4.4，X中有一个非空闭集下降序列中选取一点
，并且考虑集合A={
如果A是一个有限集，则必有一点x∈A和一个正整数的严格递增序列n1，n2，?使得
于是x∈
于是对于任何i∈Z+有x∈
，这与反证假设矛盾．
．这是因为，
设A是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以A有一个凝聚点，设为y．由于X是一个空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个i∈Z+，点y也是集合
的一个凝聚点；又由于
．这也与反证假定矛盾．
定义7.4.4 设X是一个拓扑空间．如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称拓扑空间X是一个序列紧致空间．
定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．
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