二次函数的综合应用
二次函数的实际应用
（1）增长率问题 一月 a （2）利润问题
在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量 （3）面积问题 矩形面积=长×宽 材料总长 a 矩形长 x 矩形宽 增长率为x 二月 a(1+x) 增长率为x 三月 a(1+x) 21?a?2x?2 题型一 二次函数的应用—销售问题
例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件
)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y??20x?800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）?y＝（x﹣15）?（﹣20x+800）＝﹣20x+1100x﹣12000，
即w＝﹣20x+1100x﹣12000（15≤x≤24）；
（2）对于函数w＝﹣20x+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5 又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下． ∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，
2
2
2
∴当x＝24时，W＝2880，
答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．
变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？ 【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解； （2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）+1250，结合二次函数的性质求解；
【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760， ∵20+2x≥44， ∴x≥12，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，获利最大值1232；
答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；
（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）+1250， 当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）+1250， ∴x＝10或x＝20，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小， 当10≤x≤20时，y≥1200，
答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.
变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为
2
2
2
y2??0.01x2?20x?30000(0剟x1000)．
（1）求y1（元)与x(m2)的函数关系式；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，请利用W与x的函数关系式，求绿化总费用W的最大值．
【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y1（元）与x（m）的函数关系式 （2）总费用为W＝y1+y2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解： （1）依题意
当0≤x≤600时，y1＝k1x，将点（600，18000）代入得18000＝600k1，解得k1＝30 ∴y1＝30x
当600＜x≤1000时，y1＝k2x+b，将点（600，18000），（1000，26000）代入得
，解得
∴y1＝20x+600
综上，y1（元）与x（m）的函数关系式为：（2）总费用为：W＝y1+y2 ∴W＝
2
2
整理得
故绿化总费用W的最大值为32500元.
变式训练3.某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商 品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表： 时间t（天) 1 3 5 10 36 ? 日销售量m（件) 94 90 86 76 24 ? 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为
y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式； （2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
【答案与解析】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0）， 将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90 代入解得
，
，
∴m＝﹣2t+96；
（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元， 则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）+578， ∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．
P2＝（﹣2t+96）?（t+40﹣20）＝﹣t+8t+1920＝（t﹣44）﹣16， ∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小， ∴t＝21时，P2有最大值，为513元． ∵513＜578，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．
2
2
2
题型二 二次函数的应用—面积问题
例8.如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．
（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；
（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围； （3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？
【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m； （2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围； （3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积． 【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm， ∴BC＝（30﹣2x）m；
（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x+30x（6≤x＜15）； （3）∵S＝﹣2x+30x＝﹣2（x﹣7.5）+112.5， ∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5， 此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．
答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m． 变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？
22
2
22
【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC
相关推荐：
loading