全程复习方略2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习：2.3 数学归纳法 课时作业

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课时提升作业(十九)

数学归纳法

一、选择题(每小题3分，共18分) 1.某同学回答“用数学归纳法证明

证明：①当n=1时，显然命题是正确的；②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，有

=

<

=(k+1)+1，所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n∈N*，

命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于( ) A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设 B.假设的写法不正确 C.从k到k+1的推理不严密 D.当n=1时，验证过程不具体

【解析】选A.分析证明过程中的②可知，从k到k+1的推理过程中没有使用归纳假设，故该证法不能叫做数学归纳法.

2.(2014·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证

( )

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

【解析】选C.由题意知n≥3，n∈N*，第一步应验证n=3.

3.某个命题与正整数n有关，若n=k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n=k+1时，该命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得( ) A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立

【解析】选C.原命题正确，则逆否命题正确.故应选C. 4.(2013·洋浦高二检测)已知f(n)=

++

+

+?+，则( )

A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=1+++ C.f(n)中共有n2-n+2项，当n=2时，f(2)=1+++ D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=1+++

【解析】选C.由条件可知，f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2项，且n=2时，f(2)=+++.故选C.

5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成( )

A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确，再推n=2k+3时正确 B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确，再推n=2k+1时正确 C.假设n=k(k∈N*)时正确，再推n=k+1时正确 D.假设n=k(k∈N*)时正确，再推n=k+2时正确 【解析】选B.要注意n为正奇数.

6.用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n∈N)边形的内角和公式”时，由n=k到n=k+1时增加的是( )

A. B.π C. D.2π

【解析】选B.由n=k到n=k+1时，凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.用数学归纳法证明|n2-5n+5|≠1时，需证明的第一个n值是________. 【解析】验证可知.n=1，2，3，4时，|n2-5n+5|=1，n=5时，|52-5×5+5|≠1，n=6时，|62-5×6+5|≠1，所以需验证的第一个n值应为5. 答案：5

8.(2014·宁波高二检测)用数学归纳法证明：++?+

>-.假设n=k时，

不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________________. 【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最后一项为数是连续的整数.右边n=k+1时，式子-+

>-.

+

>-

，前面的分母的底

+

+…

.即不等式为

答案：++…+

9.(2014·武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+?+(n-1)2+n2+(n-1)2+?+22+12=

时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是

____________________.

【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+

…

+22+12

，

n=k+1

时

，

左

边

=12+22+

…

+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2. 答案：(k+1)2+k2

三、解答题(每小题10分，共20分)

10.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+?+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*). 【证明】(1)当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4， 左边=右边，等式成立.

(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，当n=k+1时，

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1] =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]

=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2， 即当n=k+1时等式也成立.

根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.

11.(2014·莆田高二检测)设函数y=f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值.

(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.

(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0?f(0)=0.