3．2 上海市第二届“金桥杯”中学生
数学知识应用竞赛(1993)
上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行，决赛在9月举行． 【初赛试题】
初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．
一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度．小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C，且AB＝BC＝60米，分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45°，54.2°，60°，小明身高为1.5米，试问建造中的电视塔现在已达到的高度．(结果保留一位小数) 二、已知边长为a的正三角形铁皮材料，剪去三个全等的四边形，如图3—14所示，可制成无盖的正三棱柱的盒子．试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率．
三、某布店的一页帐簿上沾了墨水，如下图所示：
所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28，但前面的三个数码看不清楚了，请您帮助查清这笔帐． 四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网，已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图3—15所示(单位：千元)．现拟设计一个联网优化方案，既要求各子公司之间与总公司都能连通，又要使联网费用最省，试问如何联网？费用是多少？
五、在下乡劳动中，30个学生，每人拾了一篮稻穗放在田埂旁，每隔5米排成一列，不妨依次叫第1号、第2号、?、第30号，每人将篮中稻穗集中到第n号处(1≤n≤30)，放在一起，然后带着空篮走回原处，试求使大家所走路程总和最小的n值．
六、一半径R＝150mm球形工件，打一斜孔如图3—16(a)所示，为了准确测量斜孔两端半径r1和r2，用两精密量球(半径R2＝100mm和R2＝80mm)以如图3—16(b)所示方式测量，测得两球外端水平距离L1＝651.40mm；再将右端量球换为半径R3＝80mm，左端量球不变仍为R2＝80mm，又测得L2＝610.17mm．
(1)求r1和r2(结果保留两位小数)； (2)求小孔的斜角α的值(结果保留分)．
七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价表如下：
怎样确定调运方案，使总的运费为最小？
八、在机械设计中，已知AB＝AC＝a，CD⊥BD，∠CAD＝θ(图3—17)，当θ为何值时，△BDC面积最大，并求出最大值．
九、某一信托投资公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为10％，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)
十、在正方形铁皮上任意划9条直线，如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为m∶n(m， n∈N)，那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点，对吗，为什么？ 十一、五种商品价格如下：
现在用60元恰好选购10件商品，试问有哪几种选购方式？ 十二、根据图3—18所示零件的视图，画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处)，并求出这个零件的表面积与体积．
一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA＋HB＋HC＋HD为最小，说明道理，并求出最小值．
十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成：甲的一个顶点落在乙的中心上，乙的一个顶点落在丙的中心上，丙的一个顶点落在甲的中心上．求这个模具底面的面积． 十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面，上底半径R1＝270 mm，下底半径R2＝1147 mm，轴截面母线夹角为154°，这圆台侧面是由18块相同的扇环形钢板焊接而成。库房仅有宽度为910mm的钢板，在这种钢板上怎样剪裁，使所用钢板材料长度为最短？并求长度最小值． 【决赛试题】
决赛试题共五题，其中一～三题，每题为32分，四、五题，每题为42分，满分共为180分．
一、某厂生产2mm厚钢带，由机械缠绕成卷状出厂．若每卷钢带的内半径为50 cm，外半径为80cm，试求每卷钢带的长度．(钢带卷是“紧密”的，不考虑空隙)
二、某种平面连杆摆动机构如图3—19所示，摆杆OQ绕O摆动，通过连杆PQ带动滑块P水平往复运动．
设摆杆长OQ＝r，连杆长PQ＝l，摆角中心O到滑轨O＇P的距离为h，且l＜h＜l＋r．试求：(1)P的位移x与摆角β的函数关系； (2)摆角β的变化范围；
(3)滑块P的行程(即滑动的最大距离)．
三、将底面半径为a，母线为3a的铁皮圆锥，沿圆锥侧面的一条母线剪开、摊平，以它为材料剪一个长方形为圆柱侧面，使圆柱侧面积最大，试问如何剪法？并算出圆柱侧面积的最大值．
四、图3—20表示某小区的煤气管道网络系统，每一条边上所注的数字表示该段管道单位时间的最大通过能力(单位m3/小时)．
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