动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
A
D Q
B C P
32、直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点
4Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
y B （1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四5边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）
是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
P x （3）当S?O Q A
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
B t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； E （4）当DE经过点C 时，请直接．．
写出t的值． Q
D A P C 图16
6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?． （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．?
l
E C
O A D B
C
O
A B （备用图）
7如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
A D （2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． N
B M C
8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
N
A D A D A D
N
E F E P F E P F
B C B C B C
图1 M
M 图2 图3
A D （第8题） A D
E F E F
B C B C
图4（备用） 图5（备用）
9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90o，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D A D F A D
F F
B E C G B E C G B
图1 图2 C E G 图3
11已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y
B
O A x
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
y B
O A x
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．
y B
x O A
12问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折
痕MN．当CE1AMCD?2时，求
BN的值． F A M D
方法指导： 为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 E
BN B N C 图（1） 类比归纳
在图（1）中，若CE1AMCE1AMCE1CD?3，则BN的值等于 ；若CD?4，则BN的值等于 ；若CD?n（n为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n的式子表示）
联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设ABBC?1CE1m?m?1?，CD?n，则AMBN的值等于 ．（用含m，n的式子表示）
F M
A
D E
B N C
图（2）
参考答案
1.解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ·····················（4分）②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?BP3?43秒， ∴vCQQ?t?5154?4厘米/秒．
··················（7分）3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得154x?3x?2?10， 解得x?803秒． ∴点P共运动了803?3?80厘米．
∵80?2?28?24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过
803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ········· （12分）2.解（1）A（8，0）B（0，6） · 1分 （2）QOA?8，OB?6 ?AB?10
Q点Q由O到A的时间是81?8（秒）
?点P的速度是6?108?2（单位/秒）1分
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t2 ······························1分
当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t, 如图，作PD?OA于点D，由
PDAPBO?AB，得PD?48?6t5， ······· 1分 ?S?12OQ?PD??35t2?245t
···················· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．） （3）P??8?5，24?5?? ·························· 1分
I??824??1224??1224?1??5，5??，M2???5，5??，M3??5，?5?? ·············· 3分
3.解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当
圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=1CD=322，PD=3， ∴PE=332. ∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， 33∴
AO?PE,即4=2ABPB45PB， ∴PB?3152, ∴PO?BO?PB?8?3152， ∴P(0,3152?8)， ∴k?3152?8. 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－3152－8)， ∴k=－3152－8，
∴当k=3152－8或k=－3152－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4.
5.解：（1）1，85；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4，
得QF4?t5．∴QF?45t．
∴S?12(3?t)?45t，
B 即S??2t25?65t．
（3）能．
E ①当DE∥QB时，如图4．
Q ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． D 此时∠AQP=90°． A P
C 图4
由△APQ ∽△ABC，得AQAPAC?AB， B 即t3?t3?5． 解得t?98． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°． Q 由△AQP ∽△ABC，得 AQAPD E AB?AC， A P C t3图5
即5??t3． 解得t?158． B
（4）t?5或t?45214． ①点P由C向A运动，DE经过点C． Q G 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
PC?t，QC2?QG2?CG2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]2．D 55
A P C(E) 图6 由PC2?QC2，得t2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]2，解得t?5B 552．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
Q G (6?t)2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]2，t?455514】
D C(E6.解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………A P ) 图7 4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=23. ∴AO=
12AC=3 . ……………………8分 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
EDBC是菱形 ……………………10分
7.解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形∴KH?AD?3． ·······················1分
在Rt△ABK中，AK?ABgsin45??42．22?4 BK?ABgcos45??42g22?4 ················2分 在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?52?42?3
∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 ··············3分 A D A D
N
B K C B C
H G M
（图①） （图②） （2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3
∴GC?10?3?7 ·····················4分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN
∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C
∴△MNC∽△GDC ∴CNCMCD?CG ·······················5分 即t10?2t5?7 ∴四边形
解得，t?5017 ······················· 6分 （3）分三种情况讨论：
①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t
∴t?103 ························· 7分
A A D
D
N
N B M C B M H E C
（图③） （图④） ②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得EC?12MC?12?10?2t??5?t
在Rt△CEN中，cosc?EC5?tNC?t 又在Rt△DHC中，cosc?CHCD?35
∴5?tt?35
解得t?258 ························ 8分
解法二：
∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC ∴NCECDC?HC 即t5?t5?3 ∴t?258 ························· 8分
③当MN?MC时，如图⑤，过M作MF?CN于F点.FC?112NC?2t
解法一：（方法同②中解法一）
1cosC?FC2t3A D MC?10?2t?5
解得t?6017
N F 解法二：
B C ∵∠C?∠C，?MFC??DHC?90? H M
∴△MFC∽△DHC （图⑤）
∴
FCMCHC?DC 1即2t10?2t3?5 ∴t?6017
综上所述，当t?1025603、t?8或t?17时，△MNC为等腰三角形 ··9分
解（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． ··· 1分
∵E为AB的中点，
A D
∴BE?12AB?2．
在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?． ·· 2分
E F ∴BG?12BE?1，EG?22?12?3．
B G
C 即点E到BC的距离为3． ········· 3分
图1
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3．
同理MN?AB?4． ·······················4分 如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?． A
N
D
∴PH?12PM?32． E P F ∴MH?PMgcos30??3H 2．
B
G M C
则NH?MN?MH?4?32?52．
图2
2在Rt△PNH中，PN?NH2?PH2???5?2?3??2??????2???7． ?∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4． ··········6分
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR．
类似①，MR?32．
∴MN?2MR?3． ·······················7分 ∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3．
此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2． ·········8分
8.
A D A D A D
N E P F
E P
F E F（P） R
N N B
G
M C
B
G
M C
B
G
M
C
图3
图4
图5
当MP?MN时，如图
4，这时MC?MN?MP?3．
此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．
当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?．
则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MC?PMgtan30??1． 此时，x?EP?GM?6?1?1?4．
综上所述，当x?2或4或?5?3?时，△PMN为等腰三角形． ·· 10分 9解：（1）Q（1，0） ······················· 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度． ················ 2分 （2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．
y 在Rt△AFB中，AB?82?62?10 3分 D 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． C∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH． AMP ∴BH?AF?6,CH?BF?8． FBH∴ONQOG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．
EGx∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF．
∴
APAB?AMAF?MPBF． ?t10?AMMP6?8． ∴AM?3t，PM?4t． ∴PN?OM?10?3t,ON?PM?45555t． 设△OPQ的面积为S（平方单位） ∴S?1?(10?3t)(1?t)?547325?10t?10t2（0≤t≤10）
············ 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
47 ∵a??31010<0 ∴当t??2?(?3?476时， △OPQ的面积最大． ·····6分 10) 此时P的坐标为（
9415，5310） ． ··················7分 （4） 当 t?53或t?29513时， OP与PQ相等． ············9分
10.解：（1）正确． ··········· （1分）
证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME．（2分） ?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°．
A D QCF是外角平分线，
M F ??DCF?45°，
??ECF?135°．
B E C G ??AME??ECF．
Q?AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°， ??BAE??CEF．
?△AME≌△BCF（ASA）
． ···················（5分） ?AE?EF． ·························（6分） （2）正确． ············· （7分） 证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN?CE，连接NE． ········ （8分） ?BN?BE． N
F ??N??PCE?45°．
A D Q四边形ABCD是正方形， ?AD∥BE．
??DAE??BEA． B C E G
??NAE??CEF．
?△ANE≌△ECF（ASA）
． ·················· （10分） ?AE?EF． （11分）
11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD.
设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2?OC2?OA2， 即?4?m?2?m2?22，解得m?32.
?3??点C的坐标为?0，?. ······················ 4分
?2?
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称． ∴MN垂直平分BE．∴BM?EM，BN?EN． ········ 1分
∵四边形ABCD是正方形，∴?A??D??C?90°,AB?BC?CD?DA?2．
CE1 ∵设BN?x，则NE?x， ?，?CE?DE?1．NC?2?x．CD2 在Rt△CNE中，NE2?CN2?CE2．
55，即BN?． ·········· 3分 （Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?, 则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y， 则B?C?BC?OB?OC?4?y，
222 ∴x2??2?x??12．解得x?2在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C?OC?OB?.
2 ??4?y??y2?x2，
即y??18x2?2 ·························· 6分
由点B?在边OA上，有0≤x≤2，
? 解析式y??18x2?2?0≤x≤2?为所求.
? Q当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
?y的取值范围为32≤y≤2. ··················
7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且B??D∥OB. 则?OCB????CB??D. 又Q?CBD??CB??D，??OCB????CBD，有CB??∥BA. ?Rt△COB??∽Rt△BOA. 有OB??OC
OA?OB，得OC?2OB??. ·················· 9分
在Rt△B??OC中，
设OB???x 0?x?0?，则OC?2x0.
由（Ⅱ）的结论，得2x12
0??8x0?2，
解得x 0??8?45．Qx0?0，?x0??8?45. ?点C的坐标为?0，85?16?. ················· 10分
12解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．
A
M F D
E
B
N
C
图（1-1）
44在Rt△ABM和在Rt△DEM中，
AM2?AB2?BM2， DM2?DE2?EM2，
?AM2?AB2?DM2?DE2． ·················设AM?y，则DM?2?y，∴y2?22??2?y?2?12．
解得y?114，即AM?4． ··················∴AM1BN?5． ·······················方法二：同方法一，BN?54． ················如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．
A M F G D
E B N C 图（1-2）
∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．
∴NG?CD?BC．
同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG?BN?54．
∵MN?BE，??EBC??BNM?90°． QNG?BC，??MNG??BNM?90°，??EBC??MNG． 在△BCE与△NGM中
???EBC??MNG，?BC?NG，∴△BCE≌△NGM，EC?MG． ······???C??NGM?90°．∵AM?AG?MG，AM=514?1?4． ··············分
分
分 分
分
5 6 7 3 ５分 6
∴
类比归纳
AM1 ······················ 7分 ?．BN52?n?1? ················· 10分 249（或）；； 251017n?1联系拓广
n2m2?2n?1 ························ 12分 22nm?1
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