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专题检测（五） 数学文化
一、选择题
1.我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )
A.104人 C.112人
B.108人 D.120人
解析：选B 由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为8 1008 100
300×＝300×＝108.故选B.
22 5008 100＋7 488＋6 912
2.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为( )
A.180 C.128
B.200 D.162
解析：选B 根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列.可得从第11项到20项为60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第20项为200.
3.(2019·昆明市高三调研测试)法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为1的圆内随机地取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长3的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为( )
1
A. 21C. 4
1B. 31D. 6
解析：选B 记等边三角形为△ABC，弦的另一个端点为P.如图，弦︵1
AP的长超过AB的长，则点P落在劣弧BC上，所以所求概率为.故选B.
3
4.欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于
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( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：选B 依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e2i
表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选B.
5.如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3，5，在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是( )
2
A. 172C. 9
1B. 84D. 25
解析：选A 因为直角三角形的直角边长分别为3，5，所以正方形ABCD的面积为32
4
＋52＝34，易知四边形EFGH的面积为(5－3)2＝4.故此点取自四边形EFGH内的概率P＝
342
＝.故选A. 17
6.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )
A.五寸 C.三尺五寸
B.二尺五寸 D.四尺五寸
解析：选B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸.故选B.
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7.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高1
h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为
367
3.那么，近似公式V≈L2h，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
264
22A. 7157C. 50
25B. 8355D. 113
177
解析：选A 依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化
326426422
简得π≈.故选A.
7
8.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水(减去5即得)……如图，这是一个把k进制数a(共有n位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1 203，4，则输出的b＝( )
A.178 C.890
B.386 D.14 303
解析：选A 执行该程序框图，可得当输入k＝5，a＝1 203，n＝4时，该程序框图的功能是计算并输出b＝3×50＋0×51＋2×52＋1×53＝178.故选A.
9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙
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亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年( )
A.丙酉 C.己申
B.戊申 D.己酉
解析：选D 天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉.
10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，1二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢).弧田是由圆弧(弧田
2弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦7AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平
2方米，则cos∠AOB＝ ( )
1A. 251C. 5
3B. 257D. 25
1
解析：选D 如图，依题意AB＝6，设CD＝x(x＞0)，则(6x＋x2)
27
＝，解得x＝1.设OA＝y，则(y－1)2＋9＝y2，解得y＝5. 2
25＋25－367
由余弦定理得cos∠AOB＝＝，故选D.
252×5×5
11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕的运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )
A.11010 C.10111
B.01100 D.00011
解析：选C 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中的运算规则知h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
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