一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB| 当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b| 当A、B两点都不在原点时，
（ 1 ）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b| （ 2 ）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|
（ 3 ）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b| 综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b| 请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________.
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为________.
（3）当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值________.
（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________. 【答案】 （1）2；4 （2）x+1 ；1或-3
（3）-2或3 （4）-1≤ x≤2
【解析】【解答】（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣4）|=2； 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4 故答案为:2，4
（2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3；
故答案为：|x+1|，1或-3
（3）解方程|x+1|+|x﹣2|=5，且x为整数. 当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3
当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2 当x+1与x-2异号，则等式不成立. 故答案为：3或-2.
（ 4 ）根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；
【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|，代入数值运用绝对值的意义即可求解；
（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|，列出方程，求解即可； （3）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|可知，|x＋1|＋|x?2|表示点x到?1与2两点距离之和，由于,2与-1之间的距离是3小于5，故表示数x的点，不可能在-1与2之间，然后分数轴上表示x的点在数轴上表示数字1的点的右边及数轴上表示x的点在数轴上表示数字-2的点的左边两种情况考虑即可解决问题；
（4）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|可知，|x＋1|＋|x?2|表示点x到?1与2两点距离之和，根据两点之间线段最短即可得出x的取值范围.
2．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；
（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离为________；
（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；
（4）一般地，如果A点表示的数为m ， 将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？ 【答案】 （1）4；7 （2）1；2 （3）﹣13；9
（4）解：一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示m+n﹣p，A、B两点间的距离为|n﹣p|． 【解析】【解答】解：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4，A、B两点间的距离是7；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是1，A、B两点间的距离为2；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是﹣13，A、B两点间的距离是9；
【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点
表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（4）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；
3．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：
（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离； （2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？
（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S ， 当P从A运动到O时,所需时间为：
（秒），
当0≤t≤5时，S＝10﹣2t ， 当P从O运动到B时,所需时间为： ∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒 当5＜t≤15时，S＝t﹣5，
即动点P在运动过程中距O点的距离S＝
；
（秒）
（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a, 10+（a-5）+a=28 解得，a＝ ，
则点M所对应的数是：18﹣ ＝ ， 即点M所对应的数是 ；
（3）解：存在，t＝2或t＝ ， 理由：当0≤t≤5时， 10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1， 解得，t＝2 当5＜t≤8时，
（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1， 解得，t＝ ， 当8＜t≤15时，
（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1 该方程无解，
故存在，t＝2或t＝ .
【解析】【分析】（1）分点P在AO上和点P在OB上两种情况，先求出点P在每段时t的取值范围，再根据题意分别列出代数式可得答案；（2）根据相遇时P，Q运动的时间相等，P，Q运动的距离和等于28可得方程，根据解方程，可得答案；（3）分0≤t≤5，5＜t≤8，8＜t≤15三种情况，根据PO=BQ，可得方程，分别解出方程，可得答案.
4．观察下列等式： 第1个等式： = 第2个等 式： = 第3个等式： = 请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： =________=________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式： =________=________（n为正整数）； （3）求
的值．
= ×(1－ )； = ×( － )；
= ×( － )；第4个等式： =
= ×( － )； …
【答案】 （1）；
（2）；
（3）解：a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( － ) +…+
=
.
，
【解析】【解答】解：(1)第5个等式：a5= 故答案为 ( 2 )an= 故答案为
.
， .
【分析】（1）根据前四个式子的规律，就可列出第5个等式，计算可求解。 （2）根据以上规律，就可用含n的代数式表示出第n个代数式。
（3）根据以上的规律，可得出 a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( － ) +…+
，计算即可求出结果。
”，观察下列各式： ， .
（1）计算： （2）若
，则
________， ________
________. (填入“
”或“
”).
，求
，
5．对于有理数，定义一种新运算“
（3）若有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示且
的值.
【答案】 （1）19；（2）
，
，则 ，
，
， ，
，
，
（3）解：由数轴可得，
∵ ∴ ∴ ∴ ∴
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