课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
an
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b均为正常数，那么an与an＋1的大
bn＋1
小关系是________．
2．从盛满10 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.
?a1＋a2?2
3．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围
b1·b2
是________．
1
4．已知数列{an}中，a1＝a，a为正实数，an＋1＝an－(n∈N*)，若a3>0，则a的取值
an
范围是________．
能力提升 5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝________. 6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．
7．[2011·上海长宁二模] 设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，则该数列前6项和为________．
8．[2011·无锡联考] 已知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b8，则一定有________(填序号)．
①a3＋a9≤b9＋b7； ②a3＋a9≥b9＋b7； ③a3＋a9>b9＋b7； ④a3＋a9 9．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于________． 10．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，则公比q＝________. 11．通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1 a??2n，an为偶数， 12．已知数列{a}满足：a＝m(m为正整数)，a＋＝?若a＝1，则 n 1 n1 ??3an＋1，an为奇数. 6 m所有可能的取值为________． 13．(8分)已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝(1)求公差d的值； 5 (2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值． 2 1＋an . an 14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9?.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.00499≈1.04 1.110≈2.59 1.004910≈1.05 1.111≈2.85 1.004911≈1.06 15．(12分)[2011·扬州调研] 数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an＋Sn＝An＋B对任意正整数n都成立． (1)若A＝0，求证：数列{an}是等比数列； 111 (2)设数列{an}是等差数列，若p SpSqS11 16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，* n∈N，其中常数p>2. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列； (2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式； (3)对于(2)中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk与bk＋1之间插入－ 2k1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由． 课时作业(三十一) 【基础热身】 a?n＋1?an 1．an ?an＋a??bn＋1?－an?bn＋b＋1?＝ ?bn＋b＋1??bn＋1?a ＝>0，所以an 2．9×0.94 [解析] 第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9 (L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9 )L；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94 L. 3．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 在等差数列中，a1＋a2＝x＋y，在等比数列中，xy＝ ?a1＋a2?2?x＋y?2x2＋2xy＋y2xy?a1＋a2?2xy b1·b2，∴＝＝＝＋＋2，当x·y>0时，＋≥2，故≥4； b1·b2x·yx·yyxyxb1·b2 ?a1＋a2?2xy 当x·y＜0时，＋≤－2，故≤0. yxb1·b2 －1＋51＋5?a2－1?2－a21114.，1∪，＋∞ [解析] a3＝a2－＝a1－－＝>0， 22a2a11a?a2－1? a1－ a1 1＋51－5－1－5－1＋51＋5－1＋5a－a－a－a－a－a－ 222222 ∴>0，∵a>0，∴>0. a?a＋1??a－1?a－1 －1＋51＋5故a∈，1∪，＋∞. 22【能力提升】 5．15 [解析] ∵4a1,2a2，a3成等差数列， ∴4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，∴q2－4q＋4＝0， ∴q＝2，S4＝15. 6.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x)10＝4， 10∴x＝4－1. 7．0 [解析] a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，∴S6＝0. 8．② [解析] a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b8＝b9＋b7. 在等差数列{an}中am＋an＝ap＋aq?m＋n＝p＋q. 2 9．60 [解析] 由a4＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a15690 ＋d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60. 22 ＋ 10．1 [解析] 依题意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，当q≠1时，有2a1(1－qn1)＝a1(1－qn)＋a1(1＋ －qn2)， 解得q＝1，但q≠1，所以方程无解；当q＝1时，满足条件． 11 11．－ 917 对n≥8恒成立， 911711得<－<，可知－ a1ma2m 12．4或5或32 [解析] (1)若a1＝m为偶数，则为偶数，故a2＝，a3＝＝， 2224 mmmm ①当仍为偶数时，a4＝，?，a6＝，故＝1?m＝32. 483232 3 m＋14m3 ②当为奇数时，a4＝3a3＋1＝m＋1，?，a6＝， 4443 m＋14故＝1得m＝4. 4 3m＋1 (2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数，故a3＝必为偶数， 2 3m＋13m＋1a6＝，所以＝1可得m＝5. 1616 3×4 13．[解答] (1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1. 2 57 (2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n－， 2211 ∴bn＝1＋＝1＋. an7 n－2 771 －∞，?和?，＋∞?上分别是单调减函数， ∵函数f(x)＝1＋在?2??2?7?x－2 ∴b3 ∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1. 14．[解答] (1)10年后学生人数为b (1＋4.9?)10＝1.05b. 又设今年起学校的合格实验设备为数列{an}， 则a1＝1.1a－x，an＋1＝1.1an－x，(*) 令an＋1＋λ＝1.1(an＋λ)，则an＋1＝1.1an＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x，故数列{an－10x}是首项为1.1a－11x，公比为1.1的等比数列， － 所以an－10x＝(1.1a－11x)·1.1n1， － an＝10x＋(1.1a－11x)·1.1n1. a10＝10x＋(1.1a－11x)·1.19≈2.6a－16x. 2.6a－16xa1 由题设得＝2×，解得x＝a. 1.05bb32 1 即每年更换旧设备为a套． 321a (2)全部更换旧设备需a÷＝16年． 232 即按此速度全部更换旧设备需16年． 15．[解答] (1)证明：A＝0时，an＋Sn＝B， ??an＋Sn＝B， 当n≥2时，由?得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝0， ?an－1＋Sn－1＝B，? an1即＝，所以，数列{an}是等比数列． an－12 (2)设数列的公差为d，分别令n＝1,2,3得： a1＋S1＝A＋B，?? ?a2＋S2＝2A＋B，??a3＋S3＝3A＋B， 111111即等差数列{an}是常数列，所以Sn＝n；又＋＝，则＋＝， SpSqS11pq112 pq－11p－11q＝0，(p－11)(q－11)＝11， 2＝A＋B，?? 即?2d＋3＝2A＋B，??5d＋4＝3A＋B， A＝1，?? 解得?B＝1， ??d＝0， ???p－11＝1，?p＝12，?因p 16．[解答] (1)证明：因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，所以2an＋1＝pan ＋1－pan－2， p2p 所以an＋1＝an＋，所以an＋1＋1＝(a＋1)， p－2p－2p－2n 2 因为2a1＝pa1－2，所以a1＝>0，所以a1＋1>0， p－2 an＋1＋1p所以＝≠0，所以数列{an＋1}为等比数列． an＋1p－2 pp (2)由(1)知an＋1＝?p－2?n，所以an＝?p－2?n－1， ???? p4 又因为a2＝3，所以?p－2?2－1＝3，所以p＝4或p＝(舍去)，所以an＝2n－1. 3?? n* (3)由(2)得bn＝log22，即bn＝n(n∈N)，数列{cn}中，bk(含bk项)前的所有项的和是：(1 k?k＋1?k－ ＋2＋3＋?＋k)＋(20＋21＋22＋?＋2k2)×2＝＋2－2， 2 当k＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 011， 当k＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数， 所以当m＝10＋(1＋2＋22＋?＋28)＋467＝988时，Tm＝2011，所以存在m＝988使得Tm＝2 011.
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