信息光学习题答案 - 图文

信息光学习题答案

第一章 线性系统分析

1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）g?x??df?x?; （2）g?x???f?x?dx; dx?（3）g?x??f?x?; （4）g?x??????f????h?x????d?;

2（5）

???f???exp??j2????d?

解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x??x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n)

?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?

??n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n??????(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n????

n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。

n?????(x?2n)

(x) 1.3 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式

?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi),h?(xi)?0

式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是

??(sin?x)??n?????(x?n)???comb(x)

1

1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题1.1(a)所示， g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326

图题1.1

当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， g(x)??1x(1??)(1?x??)d??111?x?x3 32613?11?x?x,?326?13?11即 g(x)???x?x,6?32?0,??1.5 计算下列一维卷积。 （1）?(2x?3)?rect??1?x?00?x?1 其它?x?1??x?1??x?1?? （2）rect???rect?? 222??????(x)?rect(x) （3）comb解：（1）?(2x?3)?rect?3??x?1?1??x?1?1?x?2.5?????x???rect???rect??

2??2?2??2?2?2?x?2（2）设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题1.2(a)所示， g(x)??0d??x?2

当0 < x时，如图题1.2(b)所示

2

图题1.2

g(x)??d??2?x

x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即 g(x)?2???

?x??2?(x)?rect(x)?1 （3）comb1.6 已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求

（1）?exp?x2?? （2）?exp?x2/2?2解：设y???????????

?x,z??? 即 ??exp(??y2)??exp(???2)

1????F?,? 得 ab?ab?2由坐标缩放性质??f(ax,by)??（1）?exp?x2???????exp(?y2/???exp(??z2)??exp(??2?2)

2?（2）?exp?x/2???2?????exp??y?/2??2

???2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)

1.7 计算积分.（1）

????sinc?x?dx??

4（2）

??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得

? （1）sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1??)d??(1??)d??????103??021???1?1?1????（2）?sinc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d??

2???2?2????????2 ?1??1??1??1??????????? 2??2??2??21.8 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换.

3

解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc(2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题1.3(a)所示， 2211??3 G(?)??2du???

2?12当?11???时，如图题1.3(b)所示， 2211??2 G(?)??1du?1

2??2当

13???时，如图题1.3(c)所示， 22113 G(?)??1du???

2??222G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知 G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2?

图题1.3

4