当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
33
aaax∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
3
a43
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a，在x＝a处取得极大值0.
327
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
3
aaax∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
3
3
a43
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a，在x＝a处取得极小值0.
327
点评 本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类． 2．按是否为二次函数来分类
1－a1
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
x2
ax2－x＋1－a解 f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
x2
令h(x)＝ax－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， (1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 1
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
2
a1
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
2此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 11
②当0
2ax∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增， ax∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
a1
③当a<0时，－1<0<1，
11
ax∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 1
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
2
111
当0 2aa点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围． 3．按最值来分类 例3 设函数f(x)＝e－e，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围． 解 令g(x)＝f(x)－ax， 则g′(x)＝f′(x)－a＝e＋e－a， 1x－xx由于e＋e＝e＋x≥2(当且仅当x＝0时等号成立)， e所以当a≤2时，g′(x)＝e＋e－a≥2－a≥0， 故g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax. 当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln x－xx－xx－xa－a2－4 2 <0，x2＝ln a＋a2－4 2 >0， 此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数． 所以x∈(0，x2)时，g(x) 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2. 点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论． 小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论． 6 导数计算中的易错点 1．对定义理解不透 例1 已知函数f(x)＝3x－2x＋5， 4 3 则Δlim x→0 f1＋2Δx－f1 ＝________. Δx3 2 错解 因为f′(x)＝12x－6x， 所以原式＝f′(1)＝6.故填6. 剖析 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种增量形式，相应的Δy也应选择对应的形式，本题Δy中x的增量为2Δx，则分母也应为2Δx. 正解 因为f′(x)＝12x－6x， 所以原式＝Δlim x→0故填12. 答案 12 2．对导数的几何意义理解有误 例2 已知曲线y＝f(x)＝x－3x，求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程． 错解 因为点A(2,2)在曲线y＝f(x)＝x－3x上， 且f′(x)＝3x－3，所以f′(2)＝9. 所以所求切线方程为y－2＝9(x－2)， 即9x－y－16＝0. 剖析 上述解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是切点处的导数，而点 2 3 33 2 f1＋2Δx－f1 ·2＝2f′(1)＝12. 2ΔxA(2,2)虽在曲线上，但不一定是切点，故本题应先设切点，再求斜率k. 正解 设切点为P(x0，x0－3x0)，又y′＝3x－3. 所以在点x0处的切线方程为 2 y－(x30－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)． 3 2 又因为切线过点A(2,2)， 所以2－(x0－3x0)＝(3x0－3)(2－x0)， 即(x0－2)(x0＋1)＝0，解得x0＝2或x0＝－1. 故切线方程为9x－y－16＝0或y＝2. 3．求导时混淆了常量与变量 例3 求下列函数的导数： (1)f(x)＝a＋x； (2)f(x)＝ex. 错解 (1)f′(x)＝(a＋x)′＝2a＋2x. (2)f′(x)＝(ex)′＝(e)′x＋(x)′e＝ex＋e. 剖析 (1)求导是对自变量的求导，要看清表达式中的自变量．本题的自变量是x，而a是常量． (2)中误把常数e当作了变量． ππ π π π π 2 2 π2 2 23 2 正解 (1)f′(x)＝(a＋x)′＝2x. (2)f′(x)＝(ex)′＝e(x)′＝e. 4．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 例4 已知曲线f(x)＝2x－3x，过点M(1，－1)作曲线f(x)的切线，求此切线方程． 错解 因为点M在曲线上，所以M为切点， 又f′(x)＝6x－3， 所以切线的斜率为k＝f′(1)＝6－3＝3， 所以由点斜式可求得切线方程为y＝3x－4. 剖析 错解直接把M看成是切点，对于此类问题应着重考虑点是否为切点，若已知点是切点，则错解中的方法就是正确的；否则，就要设出切点，由切点写出切线方程，再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程． 正解 设切点坐标为N(x0,2x0－3x0)，f′(x)＝6x－3， 所以切线的斜率为k＝f′(x0)＝6x0－3， 所以切线方程为y－(2x0－3x0)＝(6x0－3)·(x－x0)． 又点M在切线上， 所以有－1－(2x0－3x0)＝(6x0－3)(1－x0)， 1解得x0＝1或x0＝－， 2 故切线方程为3x－y－4＝0或3x＋2y－1＝0. 5．公式或法则记忆不准 42x例5 已知函数f(x)＝x＋eln x＋＋3，则f′(2)等于( ) 3 2 3 22 3 2 2 3 π π π 22 x12 A．(ln 2＋)e＋3 212 C.e＋3 2 B．0 D．e＋3 2 4142xx错解 因为f′(x)＝(x)′＋(e)′(ln x)′＋()′＋(3)′＝2x＋e·－2， xxx12 所以f′(2)＝e＋3. 2故选C. 剖析 基本初等函数的求导公式和求导法则，是求较复杂函数的基础，上述函数就是四个基本函数y＝e，y＝ln x，y＝x，y＝C的和与积构成的，因此求导时需利用求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，而不是直接求两个函数导数的乘积． xu42x正解 因为f′(x)＝(x)′＋(eln x)′＋()′＋(3)′ xe4 ＝2x＋(e)′·ln x＋e(ln x)′－2＝2x＋eln x＋－2， xxx4 xxxx12 所以f′(2)＝(ln 2＋)e＋3. 2故选A. 答案 A 点评 基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难，而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性．
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