最新九年级上册数学知识点总结

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?b4ac?b2?b （2）当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??， ?．2a4a2a??153 154 155

当x??bb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当2a2a4ac?b2b． x??时，y有最大值

4a2a4. 二次函数常见方法指导

156 （1）二次函数y?ax2?bx?c图象的画法 157 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）

158 利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图159 . ②画草图160 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x轴的交点，顶点. 161 （2）二次函数图象的平移 162 平移步骤：

163 ① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； 164 ② 可以由抛物线y?ax2经过适当的平移得到。 165 具体平移方法如下：

211

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2166 167

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

168 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 169 （3）用待定系数法求二次函数的解析式

170 ①一般式：.已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式. （x,y）171 ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

172 ③交点式：173 式.

.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点

174 （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2?2（?，）175 ①公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是，对称

2a4a2a4a??2176 轴是直线x??b. 2a2177 ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到178 顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

179 ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点180 . 181 （5）抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

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182 ①a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样. 183 ②b和a共同决定抛物线对称轴的位置 184 由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线x??b，故 2a185 如果b?0时，对称轴为y轴；

b

?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； a

b?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a186 如果

187 如果

188 ③c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置

189 当x?0时，y?c，所以抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c），故 190 如果c?0，抛物线经过原点； 191 如果c?0,与y轴交于正半轴；

192 如果c?0,与y轴交于负半轴.

193 知识点三：二次函数与一元二次方程的关系

194 5.函数y?ax2?bx?c，当y?0时，得到一元二次方程ax2?bx?c?0，那么一元二195 次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交196 点情况决定一元二次方程根的情况.

197 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时198 等实根；

，则方程有两个不相

199 (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时

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，则方程有两

200 个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时201 有实根.

，则方程没

202 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象 方程有两个相等实数 方程有两个不等实数解 的解 解 方程没有实数解 203 204

6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0,c).

205 206 207 208 209

（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). （3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、

x2，是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的

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210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数

?y?kx?ny?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组?的解的2?y?ax?bx?c2数目来确定：

①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点； ③方程组无解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x0?，B?x2，0?，轴两交点为A?x1，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，

故

bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?15

2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????aaa?a?2