圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：
22x0?y0?D1x0?E1y0?F1?0 ① 22x0?y0?D2x0?E2y0?F2?0 ②
①－②得：(D1?D2)x0?(E1?E2)y0?F1?F2?0．
∵A、B的坐标满足方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．
∴方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．
∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为
(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例7、求过点M(3,1)，且与圆(x?1)2?y2?4相切的直线l的方程．
解：设切线方程为y?1?k(x?3)，即kx?y?3k?1?0，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2， ∴
|k?3k?1|k2???1?2?2，解得k??33， ∴切线方程为y?1??(x?3)，即443x?4y?13?0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x?3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x?3也适合题意。 所以，所求的直线l的方程是3x?4y?13?0或x?3．
补充：圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的切点弦方程： 类型三：弦长、弧问题
例8、求直线l:3x?y?6?0被圆C:x2?y2?2x?4y?0截得的弦AB的长.
例9、直线3x?y?23?0截圆x2?y2?4得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距d?3，故弦长AB?2r2?d2?2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为?AOB??3.
（2m?1）x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)， 例10、圆C：(x?1)2?(y?2)2?25，直线
（Ⅰ）证明：不论m取何值时，l与C恒有两个交点； （Ⅱ）求最短弦长所在直线方程。
分析：本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内，下一步只需要去探究点到直线的距离最大时，直线方程是什么。 类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线3x?y?23?0和圆x2?y2?4，判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线y?x?m与曲线y?4?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
解：∵曲线y?4?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是?2?m?2或m?22.
例13、圆(x?3)2?(y?3)2?9上到直线3x?4y?11?0的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆(x?3)2?(y?3)2?9的圆心为O1(3,3)，半径r?3．设圆心O1到直线3x?4y?11?0的距离为dd?3?3?4?3?113?422，则
?2?3．如图，在圆心O1同侧，与直线3x?4y?11?0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又
∴与直线3x?4y?11?0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点r?d?3?2?1．
也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线3x?4y?11?0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为 3x?4y?m?0，则d?m?113?422?1，∴m?11??5，
3x?4y?6?0，或l2：3x?4y?16?0．设圆即m??6，或m??16，也即l1：O1：(x?3)2?(y?3)2?9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，
则d1?3?3?4?3?63?422?3，d2?3?3?4?3?163?422?1．
l2与圆O1相交，∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；与圆O1有两个公共点．即
符合题意的点共3个． 类型五：圆中的最值问题
例14、圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆(x?2)2?(y?2)2?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离d?102?52?r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与
最小距离的差是(d?r)?(d?r)?2r?62.
(x?3)2?(y?4)2?1，P(x,y)为圆O上的动点，例15、(1)已知圆O1：求d?x2?y2的
最大、最小值．
(x?2)2?y2?1，P(x,y)为圆上任一点．求(2)已知圆O2：y?2的最大、最x?1小值，求x?2y的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．本题类比于2017年高考理科全国二卷12题，这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理，或者用圆的参数方程，分别把x,y表示出来，通过研究三角函数的最值研究。
解：(1)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1'加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1'减去半径1．所以
d1?32?42?1?6．d2?32?42?1?4．
所以dmax?36．dmin?16．
(2)设
y?2?k，则kx?y?k?2?0．由于P(x,y)是圆上x?1点，当直线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d??2k?k?21?k2?1，得k?3?3y?2．所以的最大值为4x?13?33?3，最小值为．令x?2y?t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最44大、最小值．由d?最小值为?2?5．
?2?m5?1，得m??2?5．所以x?2y的最大值为?2?5，
例16、已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)2?(y?4)2?4上运动，则PA?PB的最小值是 .
22解：设P(x,y)，则PA2?PB2?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP2?8.设圆心为C(3,4)，则OPmin?OC?r?5?2?3，∴PA?PB的最小值为2?32?8?26. 类型六：直线与圆的综合
例17、在平面直角坐标系x0y中，经过点（0，3）且斜率为k的直线l与圆x2?y2?4有两个不同的交点P、Q。 （1） 求k的取值范围；
（2） 设A(2,0),B(0,1)若向量OP?OQ与AB共线，求k的值。
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