多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法

教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定

方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容：

一、 多元函数的极值及最大值、最小值

定义 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于

(x0,y0)的点，如果都适合不等式

f(x,y)?f(x0,y0)，

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,y0)。如果都适合不等式 f(x,y)?f(x0,y0)，

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数z?3x?4y在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，

22z?3x?4y因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

22例２ 函数z??x?y在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，

22而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy22z??x?y平面下方的锥面的顶点。

例３ 函数z?xy在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0

证 不妨设z?f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值。依极大值的定义，在点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点都适合不等式 f(x,y)?f(x0,y0)

特殊地，在该邻域内取y?y0，而x?x0的点，也应适合不等式 f(x,y0)?f(x0,y0)

这表明一元函数f(x,y0)在x?x0处取得极大值，因此必有 fx(x0,y0)?0

类似地可证

fy(x0,y0)?0

从几何上看，这时如果曲面z?f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面，则切平面

z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)

成为平行于xOy坐标面的平面z?z0?0。

仿照一元函数，凡是能使fx(x,y)?0,fy(x,y)?0同时成立的点(x0,y0)称为函数

z?f(x,y)的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的

驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数z?xy的驻点，但是函数在该点并无极值。 怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件） 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0，令

fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

2(1)AC?B?0时具有极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值； 2(2)AC?B?0时没有极值；

2(3)AC?B?0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z?f(x,y)的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组

fx(x,y)?0,fy(x,y)?0 求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A，B和C。

2第三步 定出AC?B的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值

还是极小值。

例1 求函数f(x,y)?x?y?3x?3y?9x的极值。

解 先解方程组

3322??32x?6x?9?0,?fx(x,y)?fy(x,y)??32y?6y?0,??

求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。

再求出二阶偏导数

fxx(x,y)?6x?6,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)??6y?6

2在点(1,0) 处，AC?B?12?6?0又A?0，所以函数在(1,0)处有极小值

f(1,0)??5；

在点(1,2) 处，AC?B?12?(?6)?0，所以f(1,2)不是极值；

2在点(-3,0) 处，AC?B??12?6?0，所以f(-3,0)不是极值；

2在点(-3,2) 处，AC?B??12?(?6)?0又A?0所以函数在(-3,2)处有极大值

2f(-3,2)=31。

例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

2m解 设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为xy，此水箱所用材料的面积

A?2(xy?y?

22?x?)xyxy，

（x?0，y?0）

A?2(xy?即

22?)xy

可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点

(x,y)。

令

Ax?2(y?2)?02x，

Ay?2(x?2)?0y2

解这方程组，得：

3 x?2，y?32

从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

二、条件极值 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法 要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点，可以先构成辅助函数

F(x,y)?f(x,y)???(x,y)

其中?为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立

?fx(x,y)???x(x,y)?0,???fy(x,y)???y(x,y)?0,???(x,y)?0. ?

（1）

由这方程组解出x，y及?，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件下?(x,y)?0的可能极值点的坐标。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 u?f(x,y,z,t) 在附加条件

?(x,y,z,t)?0，?(x,y,z,t)?0 下的极值，可以先构成辅助函数

(2)

F(x,y,z,t)?f(x,y,z,t)??1?(x,y,z,t)??2?(x,y,z,t)

其中?1，?2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x,y,z,t)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例3 求表面积为a而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为x,y,z， 则问题就是在条件

2?(x,y,z,t)?2xy?2yz?2xz?a2?0 （3）

下，求函数

V?xyz (x?0，y?0，z?0) 的最大值。构成辅助函数

2F(x,y,z)?xyz??(2xy?2yz?2xz?a)

求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到

?yz?2(y?z)?0???xz?2(x?z)?0??xy?2(y?z)?0

?再与(10)联立求解。

因x、y、z都不等于零，所以由(11)可得

（4）

xx?z y＝y?z，

yx?yz＝x?z．

由以上两式解得 x?y?z 将此代入式(10)，便得

6a x?y?z=6

这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的

6a2a极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为6的正方体的体积为最

V?63a36。

大，最大体积