2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13．坐标系与参数方程
一、解答题
【2018.22】（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??3?0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
?x?3cos?,【2017，22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），直线l的参数方程为
?y?sin?,?x?a?4t,（t为参数）． ?y?1?t,?（1）若a??1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．
?x?acost,【2016，23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(t为参数，a?0)．在以坐标
y?1?asint,?原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??4cos?．
（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为???0，其中?0满足tan?0?2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
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【2015，23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=?2，圆C2：?x?1???y?2??1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求C1，C2的极坐标方程； （II）若直线C3的极坐标方程为??
22?4???R?，设C2与C3的交点为M,N，求?C2MN的面积.
?x?2?tx2y2??1，直线l：?【2014，23】已知曲线C：（t为参数）. 49?y?2?2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
【2013，23】已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
?y?5?5sint极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
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?x?2cos?【2012，23】已知曲线C1的参数方程为?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
y?3sin??极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2。正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
?）。 3（1)求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2的取值范围。
?x?2cos?【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为?（?为参数）
y?2?2sin??uuuvuuuvM是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
?3与C1的异于
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2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
13．坐标系与参数方程（解析版）
一、解答题
【2018.22】（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??3?0． （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 解：（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为 (x?1)2?y2?4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有
两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|?2，故k??4或k?0．
3k2?14经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共
3点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?|k?2|?2，故k?0或k?4．
3k2?14时，l2与C2没有公共点．学.科网 34综上，所求C1的方程为y??|x|?2．
3?x?3cos?,xOyC201722【，】在直角坐标系中，曲线的参数方程为?（?为参数），直线l的参数方程为
y?sin?,??x?a?4t,（t为参数）． ?y?1?t,? 4 / 8
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