2020.2.18三角函数和数列高考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共11小题，共55.0分） 1. 下列函数中，以为周期且在区间
单调递增的是
A.
2. 已知
， 中，
B.
，则
．
C. D.
A.
3. 在
B.
，
，
C.
，则
D.
A.
4. 若
B.
在
C. C.
D.
上是减函数，则a的最大值是
A. B. D.
5. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 6. 若将函数
的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
，则
A. C.
7. 若
B. D.
A. B.
满足
，
C.
，则
C. 63
D.
D. 84
8. 已知等比数列
A. 21 9. 若
，则 的内角
B. 42
A.
10.
B.
若
C.
的面积为
D.
，则
的对边分别为
A.
B. C. D.
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11. 设函数
，则下列结论错误的是
的一个周期为的图象关于直线的一个零点为在
单调递减
对称
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 12. 13. 已知14. 求函数15. 等差数列16.
的前n项和为，
，
的内角A，B，C的对边分别为a，b，若
，
，则
，______． 的最大值__________． ，则
______． ，，则
，
______．
，则
________．
，
，则
的面积为______．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
的前n项和为，且
在
，
17. 设数列18. 函数
的零点个数为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 19. 已知数列和满足，，
证明：
是等比数列，
，是等差数列；
．
求和
的通项公式．
20. 记为等差数列
求
的前n项和，已知
，
．
的通项公式；
求，并求的最小值．
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21.
．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求cosB；
若，
的面积为2，求b．
22. 为等差数列
，
Ⅰ求，Ⅱ求数列
，
的前n项和，且． ；
，
，记
，其中
表示不超过x的最大整数，如
的前1000项和．
23.
中，D是BC上的点，AD平分
，
面积是
面积的2倍．
求
；
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若，
，求BD和AC的长．
2020.2.18三角函数和数列高考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共11小题，共55.0分） 24. 下列函数中，以为周期且在区间
单调递增的是
A.
B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题． 根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解． 【解答】 解：不是周期函数，可排除D选项；
的周期为，可排除C选项；
在处取得最大值，不可能在区间
故选A． 25. 已知
，
，则
．
上单调递增，可排除B．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得
，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．
【解答】 解：， 由二倍角公式可得，
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，．
则有解得故选B． 26. 在
中， ．
，，
，
，，
，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】 解：在
，
则
中，
，
，
，
．
故选：A．
27. 若
在
上是减函数，则a的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 利用两角和差的正弦公式化简取
，得
的一个减区间为
，由
，
，得
，
，
，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】 解：由得取
，得
，，
的一个减区间为
， ，
，
，
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由得
在是减函数，
．
则a的最大值是．
故选：A．
28. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯
数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．
设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值． 【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列， 又总共有灯381盏，
，
解得，
则这个塔顶层有3盏灯． 故选B．
29. 若将函数
的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
A. C.
B. D.
【答案】B
【解析】【分析】 本题考查函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题． 由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【解答】 解：将函数令
的图象向左平移个单位长度，得到，
的图象，
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得：，
．
即平移后的图象的对称轴方程为故选B． 30. 若
，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题． 利用诱导公式化【解答】 解：
，
，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．
．
故选D．
31. 已知等比数列
满足，
A. 21
【答案】B 【解析】解：
， ，
，
，，
B. 42
，
，则C. 63
D. 84
．
故选：B． 由已知，，，利用等比数列的通项公式可求q，然后再代入等比数列通项公式即可求． 本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题． 32. 若
，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
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根据
【解答】 解：
，
能求出结果．
．
故选B． 33.
的内角
的对边分别为
若
的面积为
，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题． 由【解答】 解：
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ，
，
故选C．
34. 设函数
，则下列结论错误的是
的一个周期为的图象关于直线的一个零点为在
单调递减
对称
．
的面积为
，
得
，由此能求出结果．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．
根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】
解：对于A，函数的周期为，，当时，周期，故A正确；
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对于B，当B正确； 对于C，因为
时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故
，且，则的一个零点为
，故C正确； 对于D，当
时，
，此时函数
有增有减，不是单调函数，故D错误．
故选D．
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 35.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，若
，
，
，则
的面积为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题． 利用余弦定理得到，然后根据面积公式【解答】
解：由余弦定理有
，
，
， ，
，
．
故答案为
36. 已知【答案】
，
，
，
．
，
，则
______．
求出结果即可．
，
【解析】解：两边平方可得：
，
两边平方可得：由得：
． ．
故答案为：
．
，，
，即
，
把已知等式两边平方化简可得
，再利用两角和差的正弦公式化简为
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，可得结果．
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
37. 求函数
的最大值__________．
【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题． 根据同角三角函数的基本关系将化简，利用换元得到一个关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出答案． 【解答】 解：
，
令则当
，则，
，
时，时，，即的最大值为1，
故答案为1．
38. 等差数列【答案】
的前n项和为，
，
，则
______．
【解析】【分析】
本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题． 利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 【解析】 解：等差数列的前n项和为，，， 由可得
，
，数列的公差为1，首项为1，，
则
．
故答案为
．
，
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39. 【答案】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
________．
【解析】【分析】
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得入计算即可得到所求值． 【解答】 解：由
，
，且A，B，
， ，
，可得：
，代
，
由正弦定理可得故答案为．
．
40. 设数列
【答案】
的前n项和为，且，，则
______．
，
， ，
【解析】解：
又数列
，即是以首项是， ，
， 、公差为
的等差数列，
故答案为：．
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通过可知，两边同时除以可知，进而可知数列是以首项、
公差均为的等差数列，计算即得结论．
本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
41. 函数
在
的零点个数为______．
【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于中档题． 由题意可得【解答】 解：
，，
当当当当
时，时，时，时，
， ，或
，或
，
， ， ， ，
， ， ，
，可得
，
，即
，即可求出．
故零点的个数为3． 故答案为：3．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
，，42. 已知数列和满足
证明：
是等比数列，
，是等差数列；
．
求
【答案】
证明：
和
的通项公式．
，
，
，
，
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即又
，
，，
；
是首项为1，公比为的等比数列， 是首项为1，公差为2的等差数列； 解：由
可得：
，
，．
，
【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题．
定义法证明即可；
由结合等差、等比的通项公式可得．
43. 记为等差数列
的前n项和，已知，．
求的通项公式； 求，并求的最小值． 【答案】解：等差数列中，，，
，，解得，，
；
，，，
，
当时，前n项的和取得最小值为．
【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于基础题． 根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可； 由
，
，
，得
，由此可求出以及
的最小值．
44.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
求cosB；
若，
的面积为2，求b．
【答案】解：
， ，
，
，
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为三角形内角，则
．
由
可知
， ， ， ，
，
，
， 由余弦定理可得，
，
．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题． 利用三角形的内角和定理可知合由
可知
，求出cosB．
，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b．
，再利用诱导公式化简
，利用半角公式化简
，结
45. 为等差数列
，
Ⅰ求，Ⅱ求数列
【答案】解：Ⅰ为等差数列可得，则公差． 所以，
，则，
， ．
Ⅱ由Ⅰ可知：
的前n项和，且． ，；
的前1000项和．
，，记，其中表示不超过x的最大整数，如
的前n项和，且，，．
，，
．
．
数列的前1000项和为：．
【解析】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力． Ⅰ利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解，，； Ⅱ找出数列的规律，然后求数列的前1000项和．
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46. 中，D是BC上的点，AD平分，面积是
面积的2倍．
求
；
若，
，求BD和AC的长．
【答案】解：如图，过A作于E，
， 平分
，，
在在
中，中，
．
由
知，
；
．
于M，作，
于N，
过D作
平分
，
，
， ，则
令
， ，
，
由余弦定理可得：，
， ，
的长为，AC的长为1． 【解析】如图，过A作于E，由已知及面积公式可得得由则
，由AD平分及正弦定理可
，，从而得解．
，可求
，令
，
可求过D作于M，作于N，由AD平分
，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．
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本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．
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