1－9－5、板间距离为d电压为U0的两平行板电极浸于介电常数为ε的液态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是?m，问两极板间的液体将升高多少？
解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电 容器在垂直于纸面方向的深度为w，则此电容器的电容为
(L?x)w?0xw?? C(x)? dd电容中储存的电场能量为
11(L?x)w?0xw?2?)U0 We?CU02?(22dd液体表面所受的力为
2? We12? C(x)U0w?U0?(???0) fx?? x2? x2d此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此 可得
2U0w(???0)??mgdwh 2d2(???0)U0即 h?
2?mgd2 电磁场习题解答 第 13 页
2—5、内外导体的半径分别为R1和R2的圆柱形电容器，中间的非理想介质的电导率为?。若在内外导体间加电压为U0，求非理想介质中各点的电位和电场强度。
解：设圆柱形电容器介质中的电位为?，则 ?2??0
选择圆柱坐标，使z轴和电容器的轴线重合，则有
1???1?2??2? (r)?2??0 22r?r?rr???z假定电容器在z方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数?只能是r的函数，因此?所满足的微分方程可以简化为
1???(r)?0 r?r?r??C1?? ?C1， ??r?rr两边再积分得电位的通解 ??C1lnr?C2 定解条件：?r?R?U0， ?r?R?0 即 r12将电位函数的通解带入定解条件，得
C1lnR1?C2?U0
电磁场习题解答 第 14 页
C1lnR2?C2?0
由上述两式解得
U0U0lnR1 C1?， C2?U0?R1R1lnlnR2R2U0U0U0rlnr?lnR1?U0?ln?U0 于是 ??RRRR1ln1ln1ln1R2R2R2?????1?????而 E??????[er?e??ez]
?rr???z??U0?U01r(ln?U0)??er ??er
RR?rR1rln1ln1R2R2
2—7、一导电弧片由两块不同电导率的薄片构成，如图所示。若
?1?6.5?107西门子/米，?2?1.2?107西门子/米，R2?45厘米，R1?30厘米，钢片厚度为2毫米，电极间的电压U?30V，且?电极???1。求：
⑴、弧片内的电位分布（设x轴上电极的电位为0）； ⑵、总电流I和弧片的电阻R；
???⑶、在分界面上D，?，E是否突变？ ⑷、分界面上的电荷密度?。
电磁场习题解答 第 15 页
解：（1）、设电导率为?1的媒质中的电位为?1，电导率为?2的媒质中的电位为?2，选取柱坐标研究此问题。由于在柱坐标中电极上的电位和r及z无关，因而两部分弧片中的电位也只是?的函数，即
1? ? ?11?2?1 ?2?1 1?2?1 ??1?(r)?2??2 222r? r? rr? ?? zr? ?21? ? ?21?2?2 ?2?2 1?2?2 ??2?(r)?2??2
r? r? rr? ?2? z2r? ?22由上边两式可得?1、?2的通解分别为 ?1?C1??C2 ?2?C3??C4 此问题的定解条件是：
?2??0?0 ……（a） ?1????U ……（b）
2?1?????2???……（c） ?144? ?1? ????4??2? ?2? ????4……（d）
根据上述四式可得
C4?0， C1C1??C2?U 2???C2?C3?C4， ?1C1??2C3 44联立以上四式解得
C1?4U?2U(?1??2)?， C2?U?C1?
?(?1??2)2?1??2?14U?1， C4?0 C1??2?(?1??2)4U?2U(?1??2)???(5.95??20.65) V
?(?1??2)?1??2C3?于是 ?1? 电磁场习题解答 第 16 页
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