全国大学生数学竞赛测试试题解答及评分标准(非数学类)

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

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大学生数学竞赛(高等数学)

全国大学生竞赛历年试题名师精讲

（非数学类） （2009——2013）

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大学生数学竞赛(高等数学)

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类）

一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?.

n解 因为sin?1?4n2?sin?1?4n2?2n??sinn???1?4n?2n2……（2分）；

????????nln?1?sin原式?lim?1?sin??exp?lim?? 22n??n???1?4n?2n???1?4n?2n????????………………………………………………………………………………………(2分)；????1?n??exp?limnsin?exp?lim?e4……(2分) ??22?1?4n?2n???n???n???1?4n?2n????sinx2.证明广义积分?dx不是绝对收敛的

x0?n?1??解 记an?n??sinxxdx，只要证明?an发散即可。……………………（2分）

n?0?1因为an??n?1????n?1??n??12sinxdx?sinxdx?。…………（2分） ??n?1??0?n?1????2而?发散，故由比较判别法?an发散。……………………………………

n?1??n?0n?0?（2分）

3.设函数y?y?x?由x3?3x2y?2y3?2确定，求y?x?的极值。

解 方程两边对x求导，得3x2?6xy?3x2y??6y2y??0 ………………（1分）

x?x?2y??故y?，令y??0，得x?x?2y??0?x?0或x??2y………（2分） 222y?x将x??2y代入所给方程得x??2,y?1，

将x?0代入所给方程得x?0,y??1，…………………………………（2分）

?2x?2xy??2y??2y2?x2??x?x?2y??4yy??2x?又y???

222?2y?x?4