大学生数学竞赛(高等数学)
?0?0?2??2?0??0??1?0,y??x?0,y?1,y??0x??2,y?1,y??0?1?0， 2?2?0?故y?0???1为极大值，y??2??1为极小值。…………………………（3分）
y???
4.过曲线y?3x?x?0?上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为
3，求点A的坐标。 4解 设切点A的坐标为t,3t，曲线过A点的切线方程为y?3t?3t……………………………………………………………………………（2分）； 令y?0，由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为x0??2t。
??132?x?t?
从而作图可知，所求平面图形的面积
t133333S?t?t??2t?xdx?tt??t?1， ??????2440故A点的坐标为?1,1?。……………………………………………………（4分）
?二、（满分12）计算定积分I?0???xsinx?arctanexdx 21?cosx解 I?????xsinx?arctanexxsinx?arctanexdx??dx 221?cosx1?cosx0??xsinx?arctane?xxsinx?arctanex（4分） ??dx??dx…………………………………221?cosx1?cosx00xsinx?xsinx?xx（2分） ???arctane?arctanedx?dx ……………………??22?1?cosx201?cosx0???????2?2???sinxdx……………………………………………………………（4分） 2?1?cosx023?????………………………………………………… （2分） ????arctancosx0?8?2?f?x??0。三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f???0?，且lim证明 ：
x?0x??1?级数?f??收敛。
?n?n?1f?x??0得 解 由于f?x?在x?0处可导必连续，由limx?0x?f?x?? f?0??limf?x??lim?x?（2分） ??0…………………………………………x?0x?0x??f?x??f?0?f?x??lim?0…………………………………… （2分）
x?0x?0x?0x由洛必塔法则及定义
f??0??lim5
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f?x?f??x?1f??x??f??0?1?lim?lim?f???0? ………………… （3分） 2x?0x?0x?0x2x2x?02?1?f???n?1??所以 lim ?f?0? …………………………… （2分）2n??2?1????n???1?1?由于级数?2收敛，从而由比较判别法的极限形式?f??收敛。……（3分） n?n?n?1n?1 lim四、（满分12分）设f?x???,f??x????0?a?x?b?，证明?sinf?x?dx?ab2 m解 因为f??x????0?a?x?b?，所以f?x?在?a,b?上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………（2分）。
11?……… 设A?f?a?,B?f?b?,?是f的反函数，则0????y??（3分） ?f?x?m又f?x???，则???A?B??，所以?sinf?x?dx?abx???y?B ????y?sinydy…（3分）
A112?????y?sinydy??sinydy??cosy? ………………… （2分）
mmm000???五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分
I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy。试确定曲面?，使积分I的值
?最小，并求该最小值。
解 记?围成的立体为V，由高斯公式
I?????3x2?6y2?9z2?3?dv?3????x2?2y2?3z2?1?dxdydz ……………（3分）
VV为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域x2?2y2?3z2?1?0，即 取V???x,y,z?x2?2y2?3z2?1 ，曲面?:x2?2y2?3z2?1 …… （3分）
???x?u100???x,y,z?1??010?为求最小值，作变换?y?v，则，
22??u,v,w?6?1?z?w00?33?3u2?v2?w2?1?dudvdw ……………………………………（4分） 从而I?????6V3使用球坐标计算，得I?d??d???r2?1?r2sin?dr ?6000?2?1??336?246?11? ?2??????cos??0??4????? …………………… （4分）
53615156??6
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ydx?xdy六、（满分14分）设Ia?r???，其中a为常数，曲线C为椭圆?22aC?x?y?x2?xy?y2?r2，取正向。求极限limIa?r?
r?????x??解 作变换??y???2?u?v?2（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方2?u?v?231法），曲线C变为uov平面上的椭圆?:u2?v2?r2（实现了简化积分曲线），
22也是取正向 …（2分）
而且x2?y2?u2?v2,ydx?xdy?vdu?udv（被积表达式没变，同样简单！），
vdu?udv Ia?r??? ……………………………………………………………… ?22a??u?v?（2分）
222rcos?,v?2rsin?,?:0?2?，则有vdu?udv??rd?， 3322?rd?2?2?22?1?a?d?3 … （3分） Ia?r?????raa?3??0?220?222222rcos??2rsin????cos??2sin???3??3?2?22d?令Ja??，则由于?cos2??2sin2??2，从而 a33?0?222?cos??2sin???3?0?Ja???。因此当a?1时limIa?r??0或a?1时limIa?r????………（2分）
曲线参数化u?r???r???2? 而a?1,J1??/2?20d?cos2??2sin2????/2?4?0d?2cos2??2sin2?3??
3?2?0dtan?1?tan2?3?2?01t?2?arctan121/31/3?t3dt0????23??0??3?…（3分）
?2??0,a?12?I1?r????3???2?。故所求极限为Ia?r?????,a?1 …………… （2分）
3??2?,a?1?11?L?2n的敛散性，若收敛，求其和。 七（满分14分）判断级数?n?1?n?1??n?2??1?an11,n?1,2,3,L 解 （1）记an?1??L?,un?2nn?1n?2????7
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1?lnn1?0,n充分大时0?an?1??dx?1?lnn?n …………（3分） 因为limn??xn1111??L???n112n收敛…（2分）?3，而?3收敛，故?所以0?un? ?n?1??n?2?n2n?1?n?1??n?2?n?12n11（2）记ak?1??L?,?k?1,2,3,L? ，则
2k11?L?n1?nnaka??a2kSn???????k?k?
k?2?k?1?k?1??k?2?k?1?k?1??k?2?k?1?k?1a??aa??a?aa??aa?=?1?1???2?2??L??n?1?n?1???n?n? ……………… （2分）
n?1??n?1n?2??23??34??naa111=1??a2?a1???a3?a2??L? ?an?an?1??n …………………（2分）234n?1n?2aa11111111=?????L? ??n?1??n ………………………（2分）23243n?1nn?2nn?2na1?lnn1?lnn1因为0?an?1??dx?1?lnn，所以0?n?，从而lim?0，
n??n?2n?2n?2x1a故limn?0。 n??n?2因此S?limSn?1?0?0?1。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………
n??n（3分）
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