高考文科数学向量专题讲解及高考真题-含答案-

向 量

1.向量的概念

(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；

?x1?x2

?y1?y2(1)向量的基本要素：大小和方向.

坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0

(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.2..向量的运算运算类几何方法 型 向量的 1.平行四边形法则 加法 向量的 三角形法则 减法 r1.?a是一个向量,满

坐标方法 运算性质 2.三角形法则 uuuruuurAB??BA,OB?OA?AB 数 乘 向 量 rr足:|?a|?|?||a| rr2.?>0时, ?a与a同向; rr?<0时, ?a与a异向; rr?=0时, ?a?0. 向 量 的 数 量 积 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

rra?b是一个数 rrrr1.a?0或b?0时， rra?b?0. rrrra?0且b?0时，2.rrrr agb?|a||b|cos(a,b) rrrrrra?b?a?b?a?b．⑶三角形不等式： rrrr⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；

rrrrrrrrrrr②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．

????rrrr⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

rrrr⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． uuur设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?．

5.向量数乘运算：

⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①

rr?a??a；

rrrrrrrr②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．

rrrrrrrrr?a?b??a??b⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③．

??⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

rrrrrrrr6.向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．

??rrrrrrrr设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线．

??uruurr7.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且uruururuurr??只有一对实数1、2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

uuuruuur8.分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，

点?的坐标是??x1??x2y1??y2?, ?．（当??1时，就为中点公式。）1????1??9.平面向量的数量积：

rrrrrrrroo⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

??rrrrrrrrrrrrrrbba?b?a?b?0⑵性质：设a和都是非零向量，则①．②当a与同向时，a?b?ab；当a与b反向时，

rrrrrrrrrrr2r2rrra?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．

rrrrrrrrrrrrrrrrr⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．

??????rrrr⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．

rrrrr2rr2222若a??x,y?，则a?x?y，或a?x?y． 设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0．

rrrrrx1x2?y1y2a?brrr设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则cos??rr?．

2222abx1?y1x2?y2⑤线段的定比分点公式：（??0和?1）

y1??y2?y????1??（x1,y1）,(x,y),(x2,y2)，设 P1P=?PP2（或P2P=1PP1），且P1,P,P2的坐标分别是则????x?x1??x2?1???BM

推广

y1?y2A??y?21：当??1时，得线段P1P2的中点公式：? ??x?x1?x2??2P推广2：AMMB??则PM?PA??PB1??（?对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标G?x,y?：

x1?x2?x3?x???3 ??y?y1?y2?y3?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件．