2020版高考数学一轮复习导数与函数的极值、最值习题理（含解析）

第二课时 导数与函数的极值、最值

【选题明细表】 知识点、方法 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值与最值综合问题 利用导数研究优化问题 基础巩固(时间:30分钟)

1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0

题号 2,3,5,6,9,11 1,4,7,8 13,14 10,12 解析:因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,

f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.

2

2.(2018·豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)在x=2处有极小值,则常数c的值为( C )

(A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6

2

解析:因为f(x)=x(x-c),

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所以f′(x)=3x-4cx+c,

2

又f(x)=x(x-c)在x=2处有极小值,

2

所以f′(2)=12-8c+c=0,解得c=2或6,

2

c=2时,f(x)=x(x-c)在x=2处有极小值;

2

c=6时,f(x)=x(x-c)在x=2处有极大值; 所以c=2.

2

3.函数f(x)=3x+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数

解析:函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=6x+-2=由于x>0,令g(x)=6x-2x+1=0,则Δ=-20<0, 所以g(x)>0恒成立,故f′(x)>0恒成立, 即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.

2

,不妨设g(x)=6x-2x+1.

2

4.(2018·银川模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.

令f′(x)=-a=0,得x=,

当00;当x>时,f′(x)<0.

所以f(x)max=f()=-ln a-1=-1,解得a=1.

5.(2017·赤峰二模)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )

(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) (B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) (C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) (D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

解析:由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.

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6.设x1,x2是函数f(x)=x-2ax+ax的两个极值点,若x1<2

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解析:由题意得f′(x)=3x-4ax+a的两个零点x1,x2满足x1<2

2

所以f′(2)=12-8a+a<0, 解得2

7.(2018·郴州三模)已知奇函数f(x)=则函数h(x)的最大值为 .

解析:当x>0时,f(x)=-1,f′(x)=,

所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以x=1时,f(x)取到极小值e-1, 即f(x)的最小值为e-1.

又f(x)为奇函数,且x<0时,f(x)=h(x), 所以h(x)的最大值为-(e-1)=1-e. 答案:1-e

2

8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=2x-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是 .

解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-,