2020-2021备战中考数学相似综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学相似综合题附详细答案

一、相似

1．在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=

，求tanC的值；

，直

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ， 接写出tan∠CEB的值．

【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠AMB=∠BNC=90°， ∴∠BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠CBN=90°， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠AMB=∠NBC， ∴△ABM∽△BCN

（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.

∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°， ∴∠BAP=∠CPM=∠C， ∴MP=MC ∵tan∠PAC=设MN=2m,PN=

m,

，

根据勾股定理得，PM=∴tanC=

,

（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，

过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，

∵∠DEB=90°， ∴CH∥AG∥DE， ∴

=

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ∴

∵AB=AE，AG⊥BE， ∴EG=BG=4m， ∴GH=BG+BH=4m+3n， ∴ ∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m， 在Rt△CEH中，tan∠BEC= =

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN； （2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由

，

，

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

tan∠PAC=AB=

a，PQ=2a，BP=

,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设

b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得

从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出

再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义

得出tanC的值；

（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=

,过点A作AG⊥BE于

G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出

， 同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故

， 设BG=4m，

CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．如图，抛物线

与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交

于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入

得：

∴抛物线的解析式为：

，解得：

， ，

对称轴为：直线x=﹣ ； （2）解：存在，∵AD=2t，

∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：

，∴E（2t﹣4，t），

∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ① 当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴

，即

，解得：t= ；

②当∠FEC=90°， ∴∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去），

③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2 ， 即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2 ， 解得：t= ， ∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或 ；

（3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，

当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即

（2＜t＜ ）．

综上所述：

【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建

立方程组求解即可。

（2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：① 当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2 ， 建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。

（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。

3．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.

（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝

EM；

（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式； （3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长. 【答案】（1）证明：：∵ ∴ ∵ ∴

∵ ∥ , ∴ ∴ ∴ 过点 作

于点 ,则

.

°,

,

°

°,

° ,

在 ∴

中，