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（21）（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程xn?xn?1?L?x?1（n?1的整数），在区
间(1,1)内有且有唯一个实根； 2（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为x，证明limx存在，并
nn??n求此极限。
（22）（本题满分11分）
设
?1?0A???0??aa00??1a0?01a??001??1????1b????0????0?，
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当实数a为何值时，线性方程组Ax?b有无穷多解，并求其通解。
（23）（本题满分11分） 已知2.
（Ⅰ）求实数a的值
（Ⅱ）求利用正交变换x?Qy将f化为标准型。
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数学二试题解析
?1?0A????1??01??11?0a??a?1?0，二次型
f(x1,x2,x3)?xT(ATA)x的秩为
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一、选择题： （1）【答案】C
【分析】本题考查渐近线的概念与求法. 【详解】水平渐近线： 因为
x2?xlimy?lim2?1x??x??x?1，因此该曲线只有一条
水平渐近线； 垂直渐近线： 函数
x2?xy?2x?1的定义域为
x2?x1limy?lim2?x??1x??1x?12x??1，又因为
x2?xlimy?lim2??x?1x?1x?1，，因此该曲线只有一
条垂直渐近线； 斜渐近线： 因为
x2?xlimy?lim2?1x??x??x?1，因此该曲线没有斜渐近线。
故应选(C). （2）【答案】A
【分析】考查导数定义或求导公式。本题既能够用导数定义求，也可求出导函数再代入点。
【详解】法一：由题设知f(0)?0
f(0)而f?(0)?limf(x)? xx?0
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(ex?1)(e2x?2)L(enx?n)x(e2x?2)L(enx?n)?lim?limx?0x?0xx
?L?(ex?1)(e2x?2)L
?lim(e2x?2)L(enx?n)?(?1)n?1(n?1)!x?0x2x法二：因为f?(x)?e(e
?2)L(enx?n)?(ex?1)2e2xL(enx?n)因此f?(0)?1(?1)(?2)L(?(n?1))?(?1)（A）
（3）【答案】B
n?1(n?1)!，故应选
【分析】本题考查数列的性质和级数的性质。
【详解】法一：充分性：因为annn?0，因此数
n列S单调递增，又因为数列{S}有界，因此数列{S}收敛，从而lima?lim(S?S)?0。
n??nn??nn?1非必要性：令a无界；
n?1n，则数列{a}收敛，而数列{S}nn故应选（B）。 法二：充分性：因为ann?0，因此数列S单调递
nn增，又因为数列{S}有界，因此数列{S}收敛，从而级数?a收敛，有级数收敛的必要条件可得
nn?1?liman?0n??
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非必要性：令a无界；
n?1n，则数列{a}收敛，而数列{S}nn故应选（B）。
（4）【答案】D
【分析】考查定积分性质、定积分换元积分法。
【详解】法一:先比较I与I大小
由于I?I??esinxdx?0,（因为x?(?,2?)时，
122?x221?sinx?0），因此I231?I2；
再比较I与I的大小
由于I?I??esinxdx?0,（因为x?(2?,3?)时，
3?x2322?sinx?0），因此I133?I2；
2?x23?x2最后比较I与I的大小
由于I?I??esinxdx??esinxdx??esinxdx ??esinxdx??esinudu
3?x231??2?2?x22?(u??)2??
?x2??[ex?e(x??)]sinxdx?0?2?22，因此I3?I1；
故应选（D）。 法二:I??esinxdx；
10I2??esinxdx??esinxdx??esinxdx?I1??esinxdx002?x2?x22?x22?x2??，
e因为x?(?,2?)时sinx?0，
x2?0，因此ex2sinx?0，而且ex2sinx资料仅供参考
连续，因此?3?x202??exsinxdx?0?x202，因此I2?x22?I1；
3?x22?I3??esinxdx??esinxdx??esinxdx??esinxdx?2?2
?I1??exsinxdx??exsinxdx?2?3?2
2?(x??)2令x?u??，则? 从而?2?23?2?exsinxdx??e(u??)sin(u??)d(u??)?22?2???e?2?(u??)2sinudu???e?sinxdx2??esinxdx??esinxdx2?x23?x2
2
??exsinxdx??e(x??)sinxdx??(ex?e(x??))sinxdx???2?22?2当x?(?,2?)时，显然有x22?(x??)22
，因此
)sinxex?e(x??)?0，sinx?0，
(x??)2从而(e故I?I3x2?e(x??))sinx?02，又因为(e?e有?(e?ex22?x2(x??)2?连续，因此)sinxdx?0，
1。
2 综上I?I1?I3，故应选（D）。
（5）【答案】A
【分析】本题考查偏导数与导数关系、单调的判定定理。
【详解】因为?f(?xx,y)?0，若x?x，则f(x,y)?f(x,y)；
121121又因为?f(?xy,y)?0，若y因此当x?x，y1211?y2，则f(x,y)?f(x,y)，
2122?y2时，
f(x1,y1)?f(x2,y2)，故应选（A）
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