资料仅供参考
x2?x?sinx2x?1?cosx?lim?limx?0x?0x22x
?lim2?sinx?1x?02 法二：
1?x1x2?x?sinxa?limf(x)?lim(?)?limx?0sinxx?0x?0xxsinx
（Ⅱ）法一：由于由题设
f(x)?alim?cx?0xkx2?x?（x?o(x2))?lim?12x?0x1?x1x2?x?sinx?xsinxf(x)?a???1?sinxxxsinx（非零常数），即
x2?x?sinx?xsinxlim?cx?0xk?xsinx（非零常数） 因此
x2?x?sinx?xsinx2x?1?cosx?xcosx?sinxc?lim?limx?0x?0xk?x?x(k?2)xk?1
?cosx?sinx?xsinx ?lim2?cosx(k ?2)(k?1)xx?0k
?limcosx?3sinx?xcosxx?0(k?2)(k?1)kxk?1
要使上极限存在且非零，必有k?1。 法二：由于
1而sinx?x?3!x31?x1x2?x?sinx?xsinxf(x)?a???1?sinxxxsinx
?o(x3)，因此
，
131x?o(x3))?(x2?x4?o(x4))3!3!xsinx?x2?14x?o(x4)3!x2?x?sinx?xsinx?x2?x?(x?
资料仅供参考
?13x3!
11?o(x)?x?o(x)?x?o(x) 3!3!34433综上可知：
13x?o(x3)f(x)?11lim?lim3!2?x?0x?0xxsinx3!，故k?1
（16）【分析】二元显函数求极值，先求出所有驻点，然后利用无条件极值的充分条件判定每一个驻点是否是极值点，是极大还是极小，并求出极值点的函数值。
【详解】由于
x??f??xye?y2x??f?e?x2?y22?x2e?x2?y22?(1?x2)e?x2?y22，
?y22
????????f?(1?x2)e?xx??f??xye?y2?x2?y22解方程组：
?0?y22?0x?1?x??1可得：?或。??y?0y?0??因此函数f(x,y)全部驻点为(1,0)、(?1,0)。 又
x??2f2?[?2x?x(1?x)]e?x22?y22?x(x2?3)e?x2?y22
x??2f2?y(x?1)e?x?y2?y22
?x2?y22
?f??xe?y22?x2?y22?xy2e?x(y2?1)e?12?x2?y22
，
对驻点(1,0)，由于
?2fA?2?x??2e(1,0)?0，
?2fB??0?x?y(1,0)资料仅供参考
?2fC?2?y??e(1,0)?12?12 因此
B2?AC??2e?1?0，且
A?0，从而
f(1,0)?e为极大值；
(?1,0) 对驻点
?2fC?2?y?e(?1,0)?12，由于
?2fA?2?x2?2e(?1,0)?12?0，
?2fB??0?x?y(?1,0)，
?12?0 ，因此B?AC??2e?1?0，且A?0，从而
f(?1,0)??e为极小值。
（17）【分析】本题主要考查导数的几何应用与定积分的几何应用。先根据题设求出切点，进而写出切线方程求出B点坐标，利用面积和旋转体体积公式求出面积和体积。
【详解】设切点A的坐标为(x,lnx)，由于
00y??(lnx)??1x，由题意知曲线在A点的切线过(0,1)点，
011?，解得x从而lnxx??0x000?e2，故切点A的坐标是(e,2)，
2因此切线C方程为C:y?2?e1(x?e)，即C:y?e1x?1，
222易求得切线C与x轴交点B(?e,0)，从而区域D的
2面积
S??[ey?e2(y?1)]dy?e2?1?e2(2?2)?e2?102
或
e21S??2(2x?1)dx??lnxdx?e2?1?ee1e2
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绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 V??2?y?[e?e(y?1)]?dy?2??yedy?2?e?y(y?1)dy
D02y22y2200
11?2?(ye)?2?e?2?e(y?y) 32y20y2023220
82?2?e?2??2?e(?2)?2???e 33222或
e2e2121222V??rh???ydx???2?2e???ln2xdx1133
e2e2822??e??(xlnx?2?lnxdx)113e28222??e?(4?e?4?e?2??lnxdx)132??e2?2?3
（18）【分析】考查初等函数的二重积分，化为极坐标系下的二次积分计算。
【详解】??xyd???D?0d??1?cos?0r3sin?cos?dr
?1?1144sin?cos?(1?cos?)d??u(1?u)du??0?144
11124??[(u?1)?1](1?u)d(u?1)??(t?1)t4dt4?140111162?(t6?t5)0?46515
（19）【分析】（Ⅰ）求出方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0的通解代入方程f?(x)?f(x)?2e确定任意常数即可，或
x资料仅供参考
方程
2f?(x)?f(x)?2ex两端求导数与f??(x)?f?(x)?2f(x)?0解
出f(x);（Ⅱ）将（Ⅰ）中得到的函数表示式代入y?f(x)?f(?t)dt，然后利用常规方法求得拐点。
x20【详解】（Ⅰ）法一：f??(x)?f?(x)?2f(x)?0的特征方程为?2???2?0，解得???2,?12?1,因此f(x)?Ce1?2x?C2ex；
将
f(x)?C1e?2x?C2ex代入，C2f'(x)?f(x)?2exx，得
?C1e?2x?2C2ex?2ex，因此C1?0?1x，故f(x)?e。
x法二：方程f?(x)?f(x)?2e两端求导数得
f??(x)?f?(x)?2e
将上式代入f??(x)?f?(x)?2f(x)?0，可得f(x)?e。 （Ⅱ）由于y?e?edt，从而 y??2xe?edt?1
xx2x?t20x2x?t20y???2ex2?x0e?tdt?4x2ex22?x0e?tdt?2x?2(1?2x2)ex22?x0e?tdt?2x2
x?t2从而定义域内y??为零或不存在点只有x?0，而 当x?0时，2(1?2x)e?0，因为e?0，因此?edt?0，
2x2?t202x?0，因此y???0 当x?0时，2(1?2x)e2x2?0，因为e2?t2?0，因此?x0edt?0?t2，
，因此y???0
又y(0)?0，因此(0,0)是曲线y?f(x)?2x?0x0f(?t2)dt的拐点。
（20）【分析】证明函数不等式，由于不等式的形状为f(x)?g(x)，故用最大最小值法完成。
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