[成才之路]2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2同步练习第2章2.1第2课时

1n＋4

解析] 因Sn＝log5(n＋4)，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝log5＝log5?1＋n＋3?，

??n＋3∴an的值随n的增大而减小． ∴{an}为递减数列，故选B. 二、填空题

5．已知a>0，b>0，m＝lg

答案] m>n

解析] ∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab>a＋b， ∴

a＋ba＋b

>，∴m>n. 22

2

a＋ba＋b

，n＝lg，则m与n的大小关系为________． 22

b2

6．设a≥0，b≥0，a＋＝1，则a·1＋b2的最大值为________．

2答案]

32 4

2

·2a2·1＋b2 2

解析] a·1＋b2＝22

22a＋1＋b32≤×＝. 224

m－34－2m7．已知sinα＝，cosα＝，其中α是第二象限角，则m的取值为________．

m＋5m＋5 答案] 8

?m－3?2＋?4－2m?2＝1，

解析] 由?????m＋5??m＋5?

整理，得m2－8m＝0， ∴m＝0或8.

∵α是第二象限角，则sinα>0，cosα<0. 经验证知m＝8. 三、解答题

8．设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，求证：ab<1. 证明] 证法1：由已知

??lgx，x≥1，

f(x)＝|lgx|＝?

?－lgx，0

∵0f(b)，

∴a、b不能同时在区间1，＋∞)上．

又由于00，有－lga－lgb>0.

∴lg(ab)<0.∴ab<1.

证法2：由题设f(a)>f(b)，即|lga|>|lgb|，上式等价于(lga)2>(lgb)2，即(lga＋lgb)(lga－lgb)>0. a

∴lg(ab)·lg>0. bb

由已知b>a>0，∴<1.

aa

∴lg<0.∴lg(ab)<0.∴0

b2x－1

9．已知函数f(x)＝x(x∈R)．

2＋1

(1)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明； (2)当n∈N＋时，合理猜想f(n)与

n

的大小．(不需证明) n＋1

证明] (1)f(x)在R上是增函数．证明如下： 设x1，x2∈R，且x1

2x2－12x1－12?2x2－2x1?

f(x2)－f(x1)＝－＝.

2x2＋12x1＋1?2x1＋1??2x2＋1?∵x10. ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上是增函数． (2)设g(n)＝

n11.当n＝1时，f(1)＝，g(1)＝，

32n＋1

32

有f(1)

5373

有f(2)

94154

有f(3)>g(3)；当n＝4时，f(4)＝，g(4)＝，

175有f(4)>g(4)；….

2n－1n

从而，当n＝1,2时，f(n)g(n)，即n>. 2＋1n＋1