2020年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的。）
01．?2的倒数是【 B 】
11 B．? C．2 D．?2 2202．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】
A．
A． B． C．
D．
03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。我国新修订的《环境空气质量标准》中
增加了PM2.5监测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。2.5微米即0.0000025米。用科学记数法表示0.0000025为【 C 】
A．2.5?10 B．2.5?10 C．2.5?10 D．2.5?10 04．若一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为【 C 】
A．5 B．6 C．7 D．8
05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，
继续散步了一段时间，然后回家。如图描述了小明在散步过程中 离家的距离S（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系。
o?55?66根据图象，下列信息错误的是【 A 】 A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米 C．小明离家最远的距离为400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 06．下列运算结果正确的是【 D 】
A．x?x?x B．xgx?x C．x?x?x D．xg?3x??9x
2353265532507．不等式组??x?1＞0的解集在数轴上表示为【 A 】
?8?4x≤0A． B． C． D．
08．下列因式分解中正确的个数为【 C 】
①x3?2xy?x?xx2?2y； ②x?4x?4??x?2?； ③?x2?y2??x?y??x?y?。
2??2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个
平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 B 】 A． B． C． D．
10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，
斜坡AB的坡度i?1:1.5，则坝底AD的长度为【 D 】 A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
11．圆心角为120，弧长为12?的扇形半径为【 C 】
A．6 B．9 C．18 D．36 12．下列命题是真命题的是【 D 】
A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。） 13．函数y?14．化简：2ox?2中自变量x的取值范围是 x≥2 。
?8?2? 2 。
o?15．如图，在矩形ABCD中，∠BOC?120，AB?5，则BD的长为 10 。
16．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛，各投掷六次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：22?0.61，S乙?0.50，则成绩较稳定的是 乙 。（填“甲”或“乙”） x甲?10.5，x乙?10.5，S甲17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD?25，则∠BAD的度数为 65 。 18．若点Pm?和点Pn?都在反比例函数y?1??1，2??2，则m ? n（填“?”、“?” 或“?”号）
ook?k?0?的图象上， xxx?1的解为x? 2 。 ?x?2x20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为?1，0?，
19．分式方程
将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45，再将其延长至点M1， 使得M1M0?OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O
o逆时针方向旋转45，再将其延长至点M2，使得M2M1?OM1，
o得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3、OM4、OM5、…。 根据以上规律，请直接写出线段OM2014的长度为
?2?2014 。
三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21．（本小题满分6分）
先化简，再求值：?a?b??a?b??b?a?2b??b2，其中a?1、b??2。
解：原式?a2?b2?ab?2b2?b2?a2?ab；当a?1、b??2时，原式?12?1???2??1?2??1。
22．（本小题满分6分）
为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）。
我市若干天空气质量情况条形统计图 我市若干天空气质量情况扇形统计图
请你根据图中提供的信息，解答下列问题： ⑴请补全条形统计图；
⑵求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；
⑶请估计我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数。 解：⑴∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为20% 条形统计图中空气质量情况为“优”的有12天 ∴被抽取的总天数为12?20%?60（天） ∴条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有：
60?12?36?3?2?2?5（天），如图所示： oo⑵扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为20%?360?72。 12?36⑶我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数??365?292（天） 60
23．（本小题满分6分）
如图，在?ABC中，AB?AC，BD?CD，DE?AB于点E，DF?AC于点F。 求证：?BED≌?CFD。
证：∵DE?AB，DF?AC，∴∠BED?∠CFD?90
o∵AB?AC，∴∠B?∠C
?∠BED?∠CFD?∵在?BED和?CFD中，?∠B?∠C，∴?BED≌?CFD。
?BD?CD?
24．（本小题满分6分）
已知某校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。
解：设这两年的年平均增长率为x，由题意得5000?1?x??7200，即?1?x??1.44，
22解得：x1?1.2?1?0.2?20%，x2??1.2?1??2.2（不合题意，舍去），∴x1?20%为所求。 答：这两年的年平均增长率为20%。
25．（本小题满分8分）
某班组织活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。已知笔记本2元/本，
中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件。
⑴若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
⑵有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。 解：⑴∵由题意知2x?y?15，∴y与x之间的关系式为2x?y?15； ⑵∵在2x?y?15中，2x为偶数，15为奇数，∴y必为奇数， ∵每种奖品至少买一件，∴x≥1，y≥1， ∴奇数y只能取1、3、5、7、9、、1113这七个数 ∴共有七种购买方案，如右图所示； ⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有1种（上表所示的方案三），共有7种购买方案 ∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为1。 7
26．（本小题满分8分）
∠ACB?90，∠B?60；∠EDF?90， 将一副三角尺如图①摆放（在Rt?ABC中，在Rt?DEF中，
∠E?45o。），点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C。
图① 图②
⑴求∠ADE的度数；
⑵如图②，将?DEF绕点D顺时针方向旋转角?0o???60o，此时的等腰直角三角尺记为试判断?DE'F'，DE'交AC于点M，DF'交BC于点N，如果不变，请求出
ooo??PM的值是否随着?的变化而变化？CNPM的值；反之，请说明理由。 CN解：⑴由题意知：CD是Rt?ABC中斜边AB上的中线，∴AD?BD?CD oo∵在?BCD中，BD?CD且∠B?60，∴有等边?BCD，∴∠BCD?∠BDC?60 ooooo∴∠ADE?180?∠BDC?∠EDF?180?60?90?30； PM⑵的值不会随着?的变化而变化，理由如下： CNoooo∵?APD的外角∠MPD?∠A?∠ADE?30?30?60，∴∠MPD?∠BCD?60 o∵在?MPD和?NCD中，∠MPD?∠BCD?60，∠PDM?∠CDN?? PMPDPMPDPD∴?MPD∽?NCD，∴，又∵由⑴知AD?CD，∴ ???CNCDCNCDADPD13o∵在?APD中，∠A?∠ADE?30，∴在等腰?APD中， ??AD33∴
PMPDPD3???。 CNCDAD327．（本小题满分10分）
如图，直线AB与x轴相交于点A??4，0?，与y轴相交于点B?0，3?， 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动。
3x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA 4于点C，交OB于点D，设运动时间为t?0?t?5?秒。 ⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形； ⑵当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的
同时，将直线y?位置关系并说明理由。 解：⑴∵直线AB与x轴相交于点A??4，0?，与y轴相交于点B?0，3? ∴直线AB的解析式为∵将直线y?xy3??1，即yAB?x?3 ?4343x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移t?0?t?5?秒得到直线CD 43∴OD?0.6t，∴D?0，0.6t?，∴直线CD的解析式为yCD?x?0.6t 4∵在直线CD中，点C在x轴上，∴令y?0，则x??0.8t，∴C??0.8t，0?，OC?0.8t ∴在Rt?OCD中，CD?OC?OD?22∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t?0?t?5?秒 ?0.8t???0.6t?22?t 3，∴AP∥CD， 4∵AP∥CD，AP?CD?t，∴在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形； ∴AP?t，∴AP?CD?t，又∵kAP?kAB?kCD?⑵欲使四边形ACDP为菱形，只需在YACDP中满足条件AC?CD，即4?0.8t?t，解得t?20 920时，四边形ACDP为菱形； 9此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切，理由如下： 20445∵t?，∴OD?0.6t?，∴BD?OB?OD?3?? 9333∴当t?∵A??4，0?，B?0，3?，∴OA?4，OB?3，∴在Rt?OAB中，AB?OA2?OB2?5 过点D作DE?AB于点E，则∠DEB?90 o∵在?AOB和?DEB中，∠AOB?∠DEB?90且∠OBA?∠EBD，∴?AOB∽?DEB oOAED44ED，即?，∴DE??OD，∴点D到直线AB的距离等于⊙D的半径 ?5ABDB353∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切。 另解：（在证明⊙D与直线AB相切时，也可利用等积法求得点D到直线AB的距离。） ．．．∴设点D到直线AB的距离为d，则S?ABD?15ABgd?d，连结AD， 22∵S?AOB?S?ABD?S?AOD且S?AOB?∴6?14?31OAgOB??6、S?AOD?OAgOD?2224?43?8 23584d?，解得d?，∴点D到直线AB的距离与⊙D的半径相等，即d?r 233∴以点D为圆心、OD长为半径的⊙D与直线AB相切。 再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”） 连结AD，则AD是菱形ACDP的对角线，∴AD平分∠OAB ∵DO?AO，∴DO是点D到直线AO的距离， ∴点D到直线AB的距离＝点D到直线AO的距离?DO? ∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切。
28．（本小题满分10分）
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