2020-2021深圳中考数学《二次函数的综合》专项训练

2020-2021深圳中考数学《二次函数的综合》专项训练

一、二次函数

1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=点的坐标为 ：P1（P4（

575时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P

823-51+55+51+53+51?5，），P2（，），P3（，），

2222225?51?5，）. 22【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

11×3×3+PG?AE， 2291=+×3×（-m2+5m-3）， 22315=-m2+m， 22=

=

5375（m-）2+，

8223＜0， 2∵-

∴当m=

575时，S有最大值是；

82（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=5+55?5或，

225+51+55?51?5，）或（，）；

2222∴P的坐标为（如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM，

则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=3-53+5或； 223-51+53+51?5，）或（，）；

22225+51+55?51?53+5，）或（，）或（，22222P的坐标为（综上所述，点P的坐标是：（

1?53-51+5）或（，）． 222点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式；

（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】

1?131?13，﹣）；（3）点Q的坐22（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝

1CD＝CE．利2用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛

?y?x2?2x?3物线的解析式联立，得出方程组?，求解即可得出点Q的坐标．

y??3x?3?【详解】

（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， ∵x12+x22﹣x1x2＝13， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴m2+3（m+1）＝13， 即m2+3m﹣10＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣5． ∵OA＜OB，

∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接BE、OE．

∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED， ∴BE＝

1CD＝CE． 2令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3）， ∴OB＝OC，

又∵BE＝CE，OE＝OE， ∴△OBE≌△OCE（SSS）， ∴∠BOE＝∠COE，

∴点E在第四象限的角平分线上，

设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝∵点E在第四象限， ∴E点坐标为（1?13， 21?131?13，﹣）； 22（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC， ∴S△ACF＝2S△AOC， ∴AF＝2OA＝2， ∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3． ∵AC∥FQ，

∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b， 将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3， ∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．

?y?x2?2x?3联立?，

?y??3x?3解得??x1??3?x2?2，?，

y??3y?12?2?1∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）． 【点睛】

本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=

1x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． 4（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=定点F的坐标为（2，1）． 【解析】

1228x﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）

134分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛

物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关22于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1），

1∴1=4a，解得：a=，

411∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．

44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

特征，即可得出（1-

1?y＝x?x1＝1??x2＝4??4，解得：?， ?1，?1y＝1y＝2?21?y＝x?x?1?4??4?∴点A的坐标为（1，

1），点B的坐标为（4，1）． 4作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，

1）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得： 413?1k＝?????k?b＝12，解得：， 4??4?b＝??4k?b＝?3??3∴直线AB′的解析式为y=-当y=-1时，有-解得：x=

28， 1328，-1）． 13134x+， 123134x+=-1， 123∴点P的坐标为（

（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=

12

m-m+1， 4121m-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1， 44∴m2-2x0m+x02-2y0（

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． 22∵m为任意值，

整理得：（1-

?11?1?2?2y0＝0?∴?2?2x0?2y0＝0， ?x2?y2?2y?3＝000?0??x0＝2∴?，

y＝1?0∴定点F的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒

1个单位的2速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）20?85或20． 13【解析】

（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；

（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到

，解得t值；

②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：

，解得t值．

解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4）， ∵抛物线的顶点为A，

设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4， 代入点C（3, 0），可得a＝－1． ∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）∵P（1?将x?1?∴M（1?1t，４）， 211t代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝4?t2， 2411t，4?t2）， 24，

，得：

，

设直线AC的解析式为

将A（１,４），C（３,０）代入将x?1?∴N（1?∴MN ∴

1t代入得2，

），

，

，

1t，2∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（1?1t，2），P（1?

1

t，４）， 2

∴PＮ＝４—（

）＝＝CQ，

又∵PN∥CQ，

∴四边形PNCQ为平行四边形， ∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形， PQ2＝PD2+DQ2 ＝∴

，

，

整理，得t2?40t?80?0．解得t1?20?85，t2?20?85（舍去）；

②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，

NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形， NQ2＝CQ2，得：

．

整理，得13t2?72t?800?0．?13t?20??t?40??0．所以t1?20，13（舍去）．

“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.

5．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形

CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为

92，此时点P的坐8315，）． 24【解析】

标为（

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

??1?b?c?0?b?2得?，解得：?，

?9?3b?c?0c?3??∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2， 又∵t≠2， ∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n， 得??3m?n?0?m??1，解得：?，

?n?3?n?3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

1927333PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

2222283②∵﹣＜0，

2273∴当t=时，S取最大值，最大值为．

28∴S=

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=OB2?OC2?32，

27?292， ∴P点到直线BC的距离的最大值为8?832此时点P的坐标为（

315，）． 42

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、

三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

6．如图1，抛物线

经过平行四边形

.经过点.点

的顶点

、

、分割为面

的横

，抛物线与轴的另一交点为

积相等的两部分，与抛物线交于另一点坐标为.

（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，（3）是否存在点

使

的面积最大?并求最大值的立方根；

为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

的直线将平行四边形

为直线上方抛物线上一动点，设点

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=大值为

×

，

=

时，△PEF的面积最大，其最

最大值的立方根为【解析】

；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析： （1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），D（2，3）， ∴BC=AD=2， ∵B（﹣1，0）， ∴C（1，0）， ∴线段AC的中点为（

，

），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分， ∴直线l过平行四边形的对称中心， ∵A、D关于对称轴对称， ∴抛物线对称轴为x=1， ∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得

，解得

，

∴直线l的解析式为y=﹣x+

，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，

），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣

t+

），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=（3+∴当t=

）=﹣

（t﹣

t+）=﹣t2+t+，

PM?（FN+EH）=

（﹣t2+

t+

）

PM?FN+）+

PM?EH=×

，

时，△PEF的面积最大，其最大值为

=

；

×

，

∴最大值的立方根为（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°， ①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°， ∴∠PAG=∠APG=45°， ∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）， ②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA， ∴△PKE∽△AQP， ∴

，即

，即t2﹣t﹣1=0，解得t=

或t=

＜﹣

（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或考点：二次函数综合题

．

7．如图1，二次函数y?ax2?3ax?4a的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C?0,?3?.

（1）求二次函数的表达式及点A、点B的坐标;

4（2）若点D在二次函数图像上，且S△DBC?S△ABC，求点D的横坐标;

5（3）将直线BC向下平移，与二次函数图像交于M,N两点(M在N左侧)，如图2，过

M作ME∥y轴，与直线BC交于点E，过N作NF∥y轴，与直线BC交于点F，当MN?ME的值最大时，求点M的坐标.

329【答案】（1）y＝x?x?3，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为

442+22，2﹣22，2；（3）M（【解析】 【分析】

（1）求出a，即可求解；

（2）求出直线BC的解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，（n，

111，﹣） 33329m﹣m﹣3），N

44329n﹣n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，

44再确定ME+MN＝﹣【详解】

3253611m+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；

123424（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），

3， 439∴y＝x2﹣x﹣3，

44∴a＝

与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴??4k?b?0，

?b??33??k??∴?4， ??b??3∴y＝

3x﹣3； 4339x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），

444过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H， 设H（x，∴DH＝|

32

x﹣3x|， 4115∵S△ABC＝?5?3?，

23415∴S△DBC＝?＝6，

52∴S△DBC＝2×|

32

x﹣3x|＝6， 4∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2； ∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，

32939m﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），

444433则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），

44设M（m，

323m+3m，NF＝﹣n2+3n， 44∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四边形MNFE是平行四边形， ∴ME＝NF，

∴ME＝﹣

323m+3m＝﹣n2+3n， 44∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m， ∴∠NMG＝∠OBC，

MGOB?∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝, MNBC∵B（4，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴﹣∴MN＝

555（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m， 4423253611m+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，

123424∴ME+MN＝﹣∵﹣

3＜0， 41∴当m＝时，ME+MN有最大值，

3111∴M（，﹣）

33【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

8．如图1，在平面直角坐标系中，直线y?物线y?1x?2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛212x?bx?c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． 2

（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点， ①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为

S1S2．求：的最大值；

S2②如图2，是否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）y??的坐标是(?2,3) 【解析】 【分析】

（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-

S11234x?x?2；（2）①当a??2时，的最大值是；②点D

S222512

x+bx+c，于是得到结论； 2（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，

35，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于22G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到结论． 【详解】

解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），

求得P（-∵抛物线y=-

12

x+bx+c经过A．C两点， 21?0＝??16?4b?c?∴?， 2??2＝c3?b=-?∴?2， ??c=2抛物线解析式为：y??123x?x?2 ; 22（2）①令y?0， ∴?123x?x?2?0 22解得：x1??4 ,x2?1 ∴B（1，0）

过点D作DM?x轴交AC于M，过点B作BN?x轴交AC于点N，

∴DM∥BN ∴?DME∽?BNE ∴

S1DEDM?? S2BEBN??123?a?a?2? 22??设：D?a，∴M?a，a?2?

??12??，? ∵B?10?5?N∴?1,? ?2?1?a2?2aSDM142?2???a?2?? ∴1?5S2BN552S14∴当a??2时，的最大值是 ;

S25②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴AC=25，BC=5，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形， 取AB的中点P，

∴P（-

3，0）， 25， 2∴PA=PC=PB=

∴∠CPO=2∠BAC， ∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=

4， 3过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG， ∴∠CDG=∠BAC， ∴tan∠CDG=tan∠BAC=即RC：DR=令D（a，-

1， 21， 2123a-a+2）， 22123a-a， 22∴DR=-a，RC=-∴（-

123a-a）：（-a）=1：2， 22∴a1=0（舍去），a2=-2， ∴xD=-2，

∴-

123a-a+2=3, 22∴点D的坐标是??2,3? 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．

9．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函

数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛

；（4）（，

）．

物线的解析式联立，得到方程组

，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， 故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：故可得点A的坐标为（，）；

，解得：，或

．

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣×× =4+=

﹣；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b， ∵P的坐标为（2，4）， ∴4=×2+b，解得b=3， ∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，）．

，

∴点M的坐标为（，

考点：二次函数的综合题

10．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣和点B（0，

12

x+bx+c经过点A（﹣1，0）25），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺2时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣标为（0，【解析】

125x+2x+；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐2277）或（0，﹣）． 22【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

19（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物229线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，

2（2）利用配方法得到y=﹣

9915﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t2222的方程，从而解方程可得到CD的长；

DP=DC=t，则P（2+t，

95），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标2215为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到?（m++2）?2=8

22（3）P点坐标为（4，

当m＜0时，利用梯形面积公式得到得到对应的M点坐标．

【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，

15?（﹣m++2）?2=8，然后分别解方程求出m即可2251）代入y=﹣x2+bx+c得 22?1??b?c?0?b?2??2?，解得??5，

5c??c??2??2?∴抛物线解析式为y=﹣（2）∵y=﹣∴C（2，

125x+2x+； 2219（x﹣2）2+， 229），抛物线的对称轴为直线x=2， 29﹣t）， 2如图，设CD=t，则D（2，

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t，

9﹣t）， 2915159﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t， 222222整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2， ∴线段CD的长为2；

把P（2+t，

（3）P点坐标为（4，

95），D点坐标为（2，）， 229）移到原点O的位置， 29∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，

2∵抛物线平移，使其顶点C（2，

99）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， 22∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m），

而P点（4，

1577?（m++2）?2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；

22221577当m＜0时，?（﹣m++2）?2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；

222277综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．

22当m＞0时，

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.

11．如图，已知抛物线y?ax2?bx?c的顶点为A?4,3?，与y轴相交于点B?0,?5?，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；

（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标. 【答案】（1）y??12x?4x?5；（2）M?2,?1?，y?2x?5；（3）点P、Q的坐2标分别为?6,1?或?2,1?、?4,?3?或?4,1?． 【解析】 【分析】

（1）函数表达式为：y?a?x?4??3，将点B坐标代入上式，即可求解； （2）A?4,3?、B?0,?5?，则点M?2,?1?，设直线AB的表达式为：y?kx?5，将点

2A坐标代入上式，即可求解；

（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】

解：（1）函数表达式为：y?a?x?4??3， 将点B坐标代入上式并解得：a??21， 2故抛物线的表达式为：y??12x?4x?5； 2（2）A?4,3?、B?0,?5?，则点M?2,?1?， 设直线AB的表达式为：y?kx?5，

将点A坐标代入上式得：3?4k?5，解得：k?2， 故直线AB的表达式为：y?2x?5； （3）设点Q?4,s?、点P?m,???12?m?4m?5?， 2?①当AM是平行四边形的一条边时，

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M， 同样点P?m,???12?m?4m?5?向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q?4,s?， 2?即：m?2?4，?12m?4m?5?4?s， 2解得：m?6，s??3，

故点P、Q的坐标分别为?6,1?、?4,?3?； ②当AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：4?2?m?4，3?1??解得：m?2，s?1，

故点P、Q的坐标分别为?2,1?、?4,1?；

故点P、Q的坐标分别为?6,1?，?4,?3?或?2,1?、?4,?3?，?2,1?或?4,1?． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.

12m?4m?5?s， 2

12．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当求t的值；

MQ1?时，NQ2（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为t＝2﹣1． 【解析】 【分析】

（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角

1；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或22t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表

示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证VMPQ∽VNCQ，故有

形，由PB?MPMQ1＝＝，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值． NCNQ2（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值． 【详解】

（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4）

当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4 ∴B（4，0）

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点

??16?4b?c?0?b?3∴? 解得：?

0?0?c?4c?4??∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4

（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90° ∴OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB＝45° ∵ME⊥x轴于点E，PB＝2t ∴∠BEP＝90°

∴Rt△BEP中，sin?PBE＝∴BE＝PE＝PE2 ?PB22PB＝t， 2﹣BE＝﹣4t，yP＝PE＝t ∴xM＝xP＝OE＝OB∵点M在抛物线上

24t）?（﹣34t）?4＝﹣t2?5t， ∴yM＝﹣（﹣﹣yP＝﹣t2?4t ， ∴MP＝yM∵PN⊥y轴于点N

∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90° ∴四边形ONPE是矩形 ∴ON＝PE＝t ∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t ∵MP∥CN ∴△MPQ∽△NCQ ∴

MPMQ1?? NCNQ2?t2?4t1∴?

4?t2解得：t1＝，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去） ∴t的值为

121 2（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE ∴∠BPE＝∠PBE＝45° ∴∠MPD＝∠BPE＝45°

①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45° ∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾 ②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45° ∵∠AEM＝90° ∴AE＝ME

∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4 ∴A（﹣1，0）

∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t ∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t＝﹣t2+5t

解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM

如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G ∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF ∴CF＝CD

∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m ∴???a?m?0?a?t ， 解得：?2a4?t?m??t?5t??m?t??∴直线AM：y＝tx?t ∴F（0，t） ∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t ∵tx+t＝﹣x+4，解得：x?∴DG＝xD＝?4?t， t?14?t， t?1∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45° ∴CD＝2DG＝∴4﹣t＝2?4?t?，

t?12?4?t? t?1解得：t＝2﹣1

综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝2﹣1． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．

13．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2）．点E是直线y=﹣

5x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣31x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． 3（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，

ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．

（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=

321，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣423）． 2【解析】 【分析】

1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；

（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；

（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标． 【详解】

20??16a??c??2 ， （1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：?3?c?2?2?25?a??解得：?3 ，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，

33?c?2?y?﹣x?2??联立一次函数解析式得：?， 225y?﹣x?x?2?33?125x+2=﹣x2+x+2， 333解得：x=0或x=3， 则E（3，1）；

消去y得：﹣

（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，

设M（m，﹣∴MH=（﹣

2251m+m+2），则H（m，﹣m+2）， 33322512m+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m， 333311×2×3+MH?3=﹣m2+3m+3， 22S四边形COEM=S△OCE+S△CME=当m=﹣

b3213=时，S最大=，此时M坐标为（，3）； a242（3）连接BF，如图②所示，

当﹣

2255-735+73x+x+20=0时，x1=，x2=， 334473-55+73，OB=， 44∴OA=∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB， ∴△AOC∽△FOB，

73-52OAOC??∴ ，即4 ， OFOFOB5+7343解得：OF=，

2则F坐标为（0，﹣【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

3）． 2

14．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=

S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG. 【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可． 试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得

，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1； （2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3）， 由题意得：AD=1+1=2，OC=3， S△ACE=

S△ACD=

×

ADOC=

×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：

，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3）， ∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0， （m+4）（m﹣5）=0， m1=﹣4，m2=5（舍）， ∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG， 连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2， ∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=∴

，∴m=﹣4，

，

FC（1﹣m）=10，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG； 如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG， 则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形， ∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

考点：二次函数的综合题.

15．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析

22x?4x?8 5（3）详见解析 【解析】 【分析】

（2）y?（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标．

（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P在CD的上面下方和点P在CD的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标： 设P?x,??22?x?4x?8?, 5?当点P在CD的上面下方，根据菱形的性质，知点P是AD与抛物线y?点，由A,D的坐标可由待定系数法求出AD的函数表达式:y?（

22x?4x?8的交51x?3,二者联立可得P12529,）； 4822x?4x?8的交5当点P在CD的上面上方，易知点P是∠D的外角平分线与抛物线y?点，此时，∠D的外角平分线与直线AD垂直，由相似可知∠D的外角平分线PD的斜率等于－2，可设其为y??2x?m，将D（10，8）代入可得PD的函数表达式:y??2x?28,与抛物线y?【详解】

（1）证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8）， ∴AB=6+4=10，AC?62?82?10．∴AB=AC．

由翻折可得，AB=BD，AC=CD．∴AB=BD=CD=AC．∴四边形ABCD是菱形． ∴CD∥AB．

∵C（0，8），∴点D的坐标是（10，8）．

22x?4x?8联立可得P2（﹣5，38）． 5?10a?5． 2a设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，

（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴对称轴为直线x??∴??4k?b?0?k??2，解得?．

?b?8?b?8∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8．

∵点M在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M（5，，－2）.

又∵抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C和M，

2??25a?50a?c??2?a?∴?，解得?5．

c?8???c?8∴抛物线的函数表达式为y?22x?4x?8． 5（3）存在．点P的坐标为P1（

529,），P2（﹣5，38） 48