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CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，
将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，变形推得S△ABC＝S矩形BGKH，S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，设BG＝9k，BH＝8k，则CH＝3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2＝
EF2，解得k的值，则可求得答案．
解：（1）如图1，
∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下： 如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°， 又∠ABC＝90°， ∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
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∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN， ∴△AEB≌△CNB（SAS）， ∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°， ∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF， ∴△BFE≌△BFN（SAS）， ∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2
+CN2
＝NF2
， ∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2
， ∴EA2+CF2＝EF2， ∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH， 即S△ABC＝S矩形BGKH， ∴S△ABC＝S矩形BGKH， ∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO， ∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9， ∴S△BMH：S△BGM＝8：9， ∵BM平分∠GBH， ∴BG：BH＝9：8， 设BG＝9k，BH＝8k， ∴CH＝3+k，
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∵AG＝3， ∴AE＝3，
∴CF＝
（k+3），EF＝
（8k﹣3），
∵EA2
+CF2
＝EF2
， ∴
+
＝，
整理得：7k2
﹣6k﹣1＝0， 解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1． ∴AB＝12， ∴AO＝
AB＝6， ∴⊙O的半径为6．
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