20.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点和1
右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kOD·kAB＝－，△AOB的面积为22.
2(1)求椭圆C的方程；
16
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求以F2为圆心且与
3直线l相切的圆的方程．
21．(2016·山东)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
x2y2622．(2016·山西四校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，
ab3椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切． (1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点→→→
E，使得EA2＋EA·AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
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答案精析
1．D [根据题意，将集合M画在数轴上可知，若满足M?N，则必有k≥2.]
111
2．D [当θ＝30°时，有sin θ＝，反之，当sin θ＝时，不一定有θ＝30°，所以“sin θ＝”
222是“θ＝30°”的必要不充分条件．] 3．D
4．A [由题意知a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6a6＋a10a6，∵a4＋a8＝2，∴a6a2＋2a6a6＋a10a6＝(a4＋a8)2＝4.]
abc
5．A [由正弦定理＝＝，及sin2A－sin2 B＝3sin Bsin C，可得a2－b2＝3bc.
sin Asin Bsin Cb2＋c2－a2b2＋12b2－3b·23b－b23
又c＝23b，所以cos A＝＝＝，所以A＝30°.]
2bc22b·23b6．C [如图所示，∵|b|＝1，∴b的终点在单位圆上．设点B在单位圆上．点A不在单位圆→→→→→
上，则可用OB表示b，用OA表示a，用BA表示a－b.设OC＝tb，∴d(a，tb)＝|CA|，d(a，b)→
＝|BA|，∵对任意t∈R，d(a，tb)≥d(a，b)，
→→→→
∴|CA|≥|BA|恒成立，∴BA⊥OB，即b⊥(a－b)．]
7．A [①若f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②若f(x)＝f′(x)，则1－－
ex＝－ex，此方程无解，故②不符合要求；③若f(x)＝f′(x)，则ln x＝，数形结合可知，这
xcos2x＋sin2x11
个方程存在实数解，故③符合要求；④中，f′(x)＝＝，若f(x)＝f′(x)，则
cos2xcos2xcos2x1
＝tan x，化简得sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f′(x)＝－2，
x11
若f(x)＝f′(x)，则－2＝，可得x＝－1，故⑤符合要求．]
xx
11
8．A [当－1 fx＋1x＋1在区间(－1,1]上的图象如图所示． 第 6 页 共 14 页 若g(x)＝f(x)－mx－2m在(－1,1]上有两个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝mx＋2m在 (－1,1]上有两个交点．从图象分析可知，直线y＝mx＋2m恒过定点(－2,0)，且与y轴的交点(0,2m)应位于y轴的正半轴，可知m>0，即直线y＝mx＋2m的斜率大于0，而此时应使直11 线y＝mx＋2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方，则可得3m≤1，即m≤.综上所述，0 339．B [若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，选项A，C错；由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，则α⊥β，选项B正确，选项D错．] 10．A [由已知得|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|－|MF2|＝2a1，所以|MF1|＝a＋a1，|MF2|＝a－a1， 2 又因为∠F1MF2＝90°，所以|MF1|2＋|MF2|2＝4c2，即(a＋a1)2＋(a－a1)2＝4c2，即a2＋a21＝2c， 1113393所以2＋2＝2，所以e2，因为e∈[，]，所以≤e2≤， 1＝ee1142164 2－2 e411621239即≤2≤，≤2－2≤，所以≤e21≤， 3e99e322所以e1∈? 632? .] ?2，2? 11．D [作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y＝x2， ????x＋y－2＝0，?x＝1，?x＝－2， ??解方程组?得或 2，???y＝xy＝1y＝4，??? 即直线x＋y－2＝0与抛物线y＝x2的交点坐标为(1,1)和(－2,4)． 若曲线y＝x2上存在点(x，y)在平面区域内，则m≤1.] π 0，?，∴tan x>0， 12．D [∵x∈??2?1＋2sin2x1?1 ∴f(x)＝＝?3tan x＋tan x??≥ sin 2x2当且仅当tan x＝13tan x·＝3， tan x 3πππ，即x＝时取等号，因此m＝3.不等式g(x)≤1?① 第 7 页 共 14 页 π??0 或②?解②得≤x≤. 44 2??8x－63x＋4≤1，因此，不等式g(x)≤1的解集为?1 13．－ 2 1－(－x)1－x 解析 由已知得，函数的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝log2 ＝－log2＝－f(x)， 1＋(－x)1＋x1 所以函数f(x)是奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－. 235014.×(6－1) 5解析 由 a2k＋1a2k＋1a2k ＝2，＝3，得＝6，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为6 a2ka2k－1a2k－1 3π??ππ??3π?∪，＝.] ?4，4??42??4，2? a2k＋2a2k＋1a2k＋2a2k 的等比数列．由＝2，得＝2，结合＝3，得＝6.又a2＝2，所以数列{an}的 a2ka2ka2k－1a2k＋11×(1－650)2×(1－650) 偶数项构成首项为2，公比为6的等比数列，所以S100＝＋ 1－61－6350 ＝×(6－1)． 515．－6 →→→→1→ 解析 依题意得AF＝AD＋DF＝AD＋AB， 2→→→2→→BE＝AE－AB＝AD－AB， 3→→→1→2→→AF·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB) 232→1→2→→ ＝AD2－AB2－AD·AB 323 22122＝×3－×4－×3×4cos 60°＝－6. 32316．①②④ 1 解析 当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆， 41 当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为2的圆， 41 当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆， 41 当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆， 4 第 8 页 共 14 页
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