备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
专题18立体几何与空间向量A辑
历年联赛真题汇编
1．【2008高中数学联赛(第01试)】若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为( ) A．764cm3或586cm3 C．586cm3或564cm3 【答案】A
【解析】设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，则有6(??2+??2+??2)=564，即??2+??2+??2=94. 不妨设1?????????<10，从而3??2???2+??2+??2=94， 即??2>31，故6???<10，c只能取9，8，7，6. 若c=9，则??2+??2=94?92=13，易知??=2,??=3， 得一组解(??,??,??)=(2,3,9)，
若c=8，则??2+??2=94?64=30 (???5)， 但2??2?30，即???4，从而b=4或5.
若b=5，则a2=5无解；若b=4，则a2=14无解.因此c=8时无解. 若c=7，则??2+??2=94?49=45，有唯一解??=3,??=6， 若c=6，则??2+??2=94?36=58，此时2??2?58， 即??2?29，故???6，但?????=6，所以??=6， 此时??2=58?36=22无解.
综上，共有两组解(??,??,??)=(2,3,9)或(??,??,??)=(3,6,7)， 体积为??1=23+33+93=764cm3或??2=33+63+73=586cm3. 故选A.
2．【2007高中数学联赛(第01试)】在正四棱锥P－ABCD中，∠APC=60°，则二面角A－PB－C的平面角的余弦值为( ) A． 71
B．764cm3 D．586cm3
B．?
7
1
C．
2
1
D．? 2
1
【答案】B
【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.联结CM，AC，则∠AMC为二面角A－PB－C的平面角.
不妨设????=2，则????=????=2√2，斜高为√7，
故2×√7=?????2√2，由此得????=????=√.
27
在△AMC中，由余弦定理得cos∠??????=故选B.
????2+????2?????2
2??????????
=?.
7
1
3．【2006高中数学联赛(第01试)】在直三棱柱?????????1??1??1中，∠??????=,????=????=????1=1.已知G与E分
2
??
别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( ) A．[1√5,1) B．[1√5,2) C．[1,√2) D．[1√5,√2)
【答案】A
【解析】建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0 21 ??(,0,1),??(0,??2,0)(0 2 1 ????? =(??1,?1,?1)，????? 所以????????=(?,??2,?1). 2 2 12 1 因为????⊥????，所以??1+2??2=1，由此推出0 22????? =(??1,???2,0)，|????????? |=√??1又????+??2 2 =√5??2?4??2+1 225 12 =√5(??2?)+， 1 ????? |<1. 从而有√?|???? 5 故选A． 4．【2005高中数学联赛(第01试)】如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体.任作平面??与对角线AC'垂直，使得??与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则( ). A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 【答案】B 【解析】将正方体切去两个正三棱锥A－A'BD与C－D'B'C后，得到一个以平行平面A'BD与D'B'C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一个平面上，得到一个平行四边形A'B'B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A1平行的线段(如图中E'E1)，显然??′??1=??′??1，故l为定值. 当E'位于A'B'中点时，多边形W为正六边形，而当E'移至A'处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为故S不为定值. 故选B． √32√3??与??2， 2436 5．【2004高中数学联赛(第01试)】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C－HPC的体积最大时，OB的长是( ) A． 3√5 B． 2√53 C． √63 D． 2√63 【答案】D 【解析】因为????⊥????,????⊥????，所以????⊥????，又????⊥????，所以面PAB⊥面POB，所以????⊥????,????⊥????. C是PA中点，所以????⊥????，所以当????=????时，S△HOC最大，也即???????????=???????????最大. 此时????=√2，故????=????， 21 所以∠??????=30°，所以????=?????tan30°=故选：D. 2√63 . 6．【2003高中数学联赛(第01试)】四面体ABCD中，设AB=1，CD=√3，直线AB与CD的距离为2，夹角为，3 ?? 则四面体ABCD的体积等于( ) A． 2√3 B． 2 1 C． 3 1 D． 3 √3【答案】B 【解析】解法一如图，过B作????∥????，则四边形BCDE为平行四边形，异面直线AB与CD所成角为∠??????=60°， 从而????????=?????????sin60°=， 2 4 1 3 因为????//????，所以CD∥平面ABE. 因为点D到平面ABE的距离h等于异面直线AB与CD的距离，即h=2. 故???????????=???????????=???????????=××2=. 3 4 2 1 3 1 解法二如图，分别取BC，CA，AD，DB的中点PQ，R，S， 则四边形PQRS是∠QPS=60°的平行四边形， 且????=????=，????=????= 2 2 2 1 1 1 √32 ，AB∥平面PQRS∥CD. 设AB，CD与平面PQRS的距离分别为?1,?2，则?1+?2=2， 由拟柱体的体积公式，得??????????=???????????????+???????????????=(?1+?2)????????????=×2×=. 3 3 4 2 1 1 3 1 7．【2002高中数学联赛(第01试)】曲线??2=4??,??2=?4??,??=4,??=?4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1.满足??2??2?16,??2+(???2)2?4,??2+(??+2)2?4的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( ) A．??1=??2 21 B．??1=??2 3 2 C．??1=??2 D．??1=2??2 【答案】C 【解析】如题图，两个图形绕y轴旋转所得旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|??|，则所得截面面积 ??1=??(42?4|??|)，??2=??(42???2)???[4?(2?|??|2)]=??(42?4|??|)， 所以??1=??2， 由祖暅原理知，两个几何体体积相等 所以??1=??2. 故选C 8．【2001高中数学联赛(第01试)】命题I：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题Ⅱ：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题Ⅲ：长方体中，必存在到各面距离相等的点 以上三个命题中正确的有( ) A．0个 【答案】B 【解析】由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题Ⅰ正确，对于命题Ⅱ和命题Ⅲ，一般的长方体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题Ⅰ正确. 9．【1999高中数学联赛(第01试)】给定下列两个关于异面直线的命题： 命题I：若平面??上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是??与??的交线，那么，c至多与a，b中的一条相交； 命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线.那么，( ) A．命题I正确，命题Ⅱ不正确 B．1个 C．2个 D．3个
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