_1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1．直角坐标系 (1)直线上点的坐标
在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．
(2)平面直角坐标系
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．
(3)空间直角坐标系
过空间中一个定点O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应关系．
2．平面上的伸缩变换
?X＝ax，
设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换?(a>0，b>0)
?Y＝by
的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换．
[小问题·大思维]
1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？
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提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．
2．伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？
提示：伸缩变换中的系数a>0，b>0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．
[对应学生用书P1]
用坐标法求轨迹方程
[例1] 已知点H(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正
???????????????3????PM＝0，PM＝－MQ.半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP·
2
当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.
???????????????3????PM＝0，PM＝－MQ，坐标化后[思路点拨] 设出动点M(x，y)，将HP·
2
建立x，y的关系式可求得．
[精解详析] 设M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)(x′>0)，
???????????????3????PM＝0， ∵PM＝－2MQ，HP·
3
∴(x，y－y′)＝－2(x′－x，－y)， 且(3，y′)·(x，y－y′)＝0， 1
x′＝x，??3∴?1
y′＝－??2，
①
3x＋yy′－y′2＝0.② 将①代入②式得y2＝4x(x>0)．
即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．
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求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．
(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．
(3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.求点P的轨迹C的方程．
解：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点， 则由kOP＋kOA＝kPA得， y－1y1
x＋－1＝x＋1，
整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1).
[例2] 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．
[精解详析] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)， h
则直线AC的方程为y＝－ax＋h， 即hx＋ay－ah＝0.
h
直线AB的方程为y＝ax＋h， 即hx－ay＋ah＝0.
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用坐标法解决几何问题
由点到直线的距离公式得|BD|＝|CE|＝
|2ah|
， a2＋h2|2ah|
， a2＋h2∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．
(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．
解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，
111
∴E(1，2，1)，F(2，2，0)． ∴|EF|＝1115?1－2?2＋?2－2?2＋?1－0?2＝2，
5. 2
即E，F两点间的距离为
平面上的伸缩变换 ?X＝3x，
[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换?后，圆x2＋y2＝1变成了什
?Y＝2y么曲线？
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