2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(4)

2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（4） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)

1. 已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为 ______ ． 2. 设复数z 1=2+ai，z 2=2-i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z 1|=|z 2|，则a的值为 ______ ． 3. 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是

______ ． 4. 若直线y=

x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是

______ ．

5. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ______ ． 6. 设定义在区间

上的函数y=sin2x的图象与

图象的交点横坐标为α，

则tanα的值为 ______ ． 7. 已知一组数据x 1，x 2，…x n的方差为3，若数据ax 1+b，ax 2+b，…，ax n+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为 ______ ．

8. 已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，则不等式f（x 2-3x）＜f（4）的解集为 ______ ．

9. 我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 ______ ．

10. 在平面直角坐标系xoy中，设双曲线 当a，b任意变化时，

-

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），

的最大值为 ______ ．

） 2+（y-5

11. 在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C 1：x 2+y 2=1和圆C 2：（x-5

） 2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为 ______ ． 12. 观察下列一组关于非零实数a，b的等式： a 2-b 2=（a-b）（a+b） a 3-b 3=（a-b）（a 2+ab+b 2） a 4-b 4=（a-b）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）

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…

通过归纳推理，我们可以得到等式a 2015-b 2015=（a-b）（x 1+x 2+x 3+…+x 2015），其中x 1，x x 3，…，x 2015构成一个有穷数列{x n}，则该数列的通项公式为x n= ______ （1≤n≤2015，2，

且n∈N *）（结果用a，b，n表示） 13. 已知角α，β满足

=

，若sin（α+β）=

，则sin（α-β）的值为 ______ ．

与x轴的两个交点，C、

14. 在平面直角坐标系xOy中，设A，B分别为曲线y= D分别为曲线上的两个动点，则

的取值范围是 ______ ．

二、解答题(本大题共12小题，共154.0分) 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按逆时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D． （1）求cos∠CAD的值； （2）求点C的坐标．

16. 如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面A

1ABB 1⊥平面

ABCD，且∠ABC= ．

（1）求证：BC∥平面AB 1C 1；

（2）求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1． 17. 如图，缉私船在A处测出某走私船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/时即以v海里/时的（1）若v=21，求

的速度沿直线方向航行．我缉私船立速度沿直线方向前去截获．

缉私船的航向和截获走私船所需的

时间；（参考结论：sin22°≈ ）

（2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，求v的取值范围．

18. 在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x=2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点． （1）若BC=

，求圆K的方程；

（2）求证：点B始终在某定圆上． （3）是否存在一定点Q（异于点A），使得

为常数？若存在，求出定点Q的坐标；

若不存在，说明理由．

19. 已知函数f（x）=ax 3-bx 2+cx+b-a（a＞0，b，c∈R） （1）设c=0

①若a=b，f（x）在x=x 0处的切线过点（1，0），求x 0的值； ②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

（2）设f（x）在x=x 1，x=x 2两处取得极值，求证：f（x 1）=x 1，f（x 2）=x 2不同时成

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立．

20. 已知有穷数列{a n}，{b n}对任意的正整数n∈N *都有a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a n-1b

n+1

-n-2． 2+a nb 1=2

（1）若{a n}是等差数列，且首项和公差相等，求证：{b n}是等比数列． （2）若{a n}是等差数列，且{b n}是等比数列，求证：a nb n=n?2 n-1． 21. 如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．

22. 在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M．

23. 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为

（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲

线C的极坐标方程．

24. 设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a 3+b 3）＞（a+b） 3． 25. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若

=λ

，且向量

与 夹角的余弦值为 ． （1）求实数λ的值；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

26. 证明二项式定理（a+b） n=C n0a n+C n1a n-1b+C n2a n-2b 2

+…+C nra n-rb r+…+C nnb n，n∈N *．

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