数学解题中的“分类”思想
知识技能梳理：
1、分类讨论就是根据数学对象的异同点，将数学对象按某种标准划分为不同的种类，分别进行研究和求解。思维策略是：化繁为简、化整为零、分别对待、各个击破。 2、引起分类讨论的原因：
（1）涉及的数学概念是分类定义的；
（2）运用的数学定理、公式、运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论存在多种可能性；
（4）数学问题中含有参变数，这些参变数的不同取值会导致不同的结果； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的策略来解决的。 3、注意点：
（1）根据分类的原因确定讨论的对象； （2）根据讨论的对象划分分类的标准；
（3）先易后难，先特殊后一般，逐类进行讨论，取得个部分结果； （4）最后归纳小结，综合得出结论。
典型例题剖析：
例1、解不等式：log1(x?1)??m?22??1??log1(x?1)?1?0 m?21m????1?m??1?答案：当m?(??,?1)?(0,1)时，不等式的解集为????1,???1?
?2???2????1m????1??1?m? 当m?(?1,0)?(1,??)时，不等式的解集为????1,???1?
?2???2????x2例2、已知P(x,y)是椭圆?y2?1上的点，A(a,0)是x轴上的点，求PA的最小值。
4答案：当a?3时，最小值为2?a； 2a2?33? 当a???,?时，最小值为1?；
322?? 当a??3时，最小值为2?a 2x2y2例3、过原点作两条倾斜角互补的直线l1,l2分别交圆锥曲线2?2?1,m?0,n?0于四
mn点围成一个矩形，设直线l1的斜率为k，则矩形面积为S(k)。当k??0,1?时，求S(k)的最大
值。 答案：当0?n?1时，最大值为2mn； m4m2n2n 当?1时，最大值为2 2m?nm例4、若复数z,z,z在复平面上所对应的三个点A,B,C组成直角三角形的三个顶点，且
23z?2，求复数z。
答案：z??2i,?1?3i
例5、已知数列?an?中，an?0,n?1,2,???，前n项和为Sn，且满足Sn?（1）求证：数列?an?是等差数列； （2）若数列?bn?满足bn??t?1?答案：（1）an?4n?2
（2）当1?t?2时，极限为
an?241?an?2?2 8,t?1，Tn是数列?bn?的前n项和，求limTn
n??t?1； 2?t 当t?2时，极限不存在。
例6、用水洗清一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的清洗一次的效果作如下假设：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
1，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药2残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)
（1）试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假设写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质； （3）设f(x)?1，现有a(a?0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成21?x2分后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由. (2011上海高考）
答案：（1）f(0)?1表示没有用水洗时蔬菜上的农药量将保持原样； （2）f(0)?1,f(1)?1 2 在?0,???上单调递减，且f(x)??0,1?
（3）当a?22时，清洗两次后残留的农药量较少；
当a?22时，两次清洗方法具有相同的效果； 当0?a?22时，一次清洗残留的农药量较少。
例7、已知常数a?0，在矩形ABCD中，AB?4,BC?4a，O为AB的中点，点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动，且
BECFDG，P为GE与OF的交点（如图）。问是??BCCDDA否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 D F C
E G A B O x2?y?a?答案：以O为坐标原点建立直角坐标系，可得??1
1a2221时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两个点； 212当a?时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；
212当a?时，点P到椭圆两个焦点的距离和为定值2；
212当a?时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a。
2当a?2
自我测试作业： 1、已知函数y?log1a2?2x?2axbx?b2x?1,a?0,b?0，求使y为负值的x的取值范围。
?答案：（1）若a?b?0，则x?logab??2?1；
? （2）若a?b?0，则x?R； （3）若0?a?b，则x?logab22?1
?2、在xoy平面上给定曲线y?2x，设点A的坐标为(a,0),a?R，曲线上的点P到A的距离的最小值为d，并写出d?f(a)的函数表达式。
??2a?1,a?1答案：d??
??a,a?13、求同时满足下列条件的抛物线方程：（1）准线是y轴；（2）顶点在x轴上；（3）点A(3,0)到抛物线上的点的距离的最小值为2.
答案：PA??x??3?2m???12m?8m,x?m
222 （1）当0?m?1时，y?4(x?1),y?2?x? （2）当m?1时，y?20(x?5)
222??1?? 2?4、直线y?kx与y??kx,k?0分别交椭圆Ax?By?1,A,B?R,A?B于C,E和（1）用A,B,k表示四边形CDEF的面积S； D,F四点。
（2）当k在?0,1?上变化时，求S的最大值。 答案：（1）S?224k； 2A?BkA?1时，k?BA2??0,1?，Smax?t?? BAB （2）当0? 当
AA4 ?1时，g(k)??Bk，在?0,1?上单调递减，k?1时，Smax?BkA?B225、设x1,x2是方程2x?3ax?a?a?0,a?R的两根，求x1?x2（用含a的解析式表示）
答案：当a??8或a?1时，x1?x2?3a； 2 当0?a?1时，x1?x2? 当?8?a?0时，x1?x2?6、已知函数f(x)?12a?2a； 42a2?a。
???x?1,x?1，
?1?2 （1）试求它的反函数f(x)，并指出它的定义域；
?1 （2）设正数数列?an?的前n项和Sn?f通项公式； （3）设bn?k答案：（1）f?1(Sn?1),n?2,n?N?，且a1?1，求数列?an?的
an?12，求lim2bn?1的值。
n??b?2n(x)??x?1,x?0；
?2
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