2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数f(x)??x20ln(2?t)dt，则f?(x)的零点个数为（ ）
?A?0
【答案】?B?
?B?1 ?C?2
?D?3
【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】
解析：f?(x)?ln(2?x)?2x?2xln(2?x)，又因为ln(2?x)?0，所以f?(x)只有一个 零点.
（2）函数f(x,y)?arctan222x在点(0,1)处的梯度等于（ ） y?A?i
【答案】?A?
?B? -i ?C?
j
?D? ?j
【考点】梯度 【难易度】★★ 【详解】
11yyy??,解析：由 fx?x2x2?y2x2?y21?2yy2?x?xy2fy??,222xx?y1?2y所以gradf(0,1)?1?i?0?j?i.
1fx(0,1)??1.
1fy(0,1)?0.
x（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为
通解的是（ ）
?A?y????y???4y??4y?0.
?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y????y???4y??4y?0.
?C?y????y???4y??4y?0.
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【答案】?D?
【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理 【难易度】★★ 【详解】
x解析：由y?C1e?C2cos2x?C3sin2x可知其特征根为?1?1,?2,3??2i.
32故对应的特征方程为 (??1)(??2i)(??2i)?(??1)(??4)?0，即????4??4?0
2所以所求微分方程为y????y???4y??4y?0, 选?D?.
（4）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.
?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
【答案】?B? 【考点】单调有界准则 【难易度】★★ 【详解】
解析：若?xn?单调，则由f(x)在(??,??)内单调有界知，?f(xn)?单调有界， 因此?f(xn)?收敛,应选?B?.
（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满足A?0，则（ ）
3?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
【答案】?C? 【考点】逆矩阵的概念 【难易度】★★ 【详解】
解析：(E?A)(E?A?A)?E?A?E，(E?A)(E?A?A)?E?A?E 故E?A,E?A均可逆.
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?x???（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)Ay?1在正交变换下的标准方
???z???程的图形如下图，则A的正特征值个数为（ ）
?A?0.
?B?1. ?C?2.
z
?D?3.
y 0 x
【答案】?B?
【考点】二次型的标准型，常见的二次曲面方程及其图形 【难易度】★★★ 【详解】
x2y2?z2x2y2?z2?1.二次型2?解析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为2?ac2ac2的特征值为
111，，，故A的正特征值个数为1. ??a2c2c2（7）设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?的分布函数为（ ）
?A? F2?x?.
2 .
?B? F?x?F?y?.
?C? 1???1?F?x????D? ??1?F?x?????1?F?y???.
【答案】?A?
【考点】两个及两个以上随机变量简单函数的分布，二维随机变量相互独立的性质
【难易度】★★★ 【详解】 解析：
F?Z??P?Z?x??P?max?X,Y??x??P?X?x?P?Y?x??F?x?F?x??F2?x?
（8）设随机变量X:N?0,1?，Y:N?1,4?，且相关系数?XY?1，则（ ）
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?A? P?Y??2X?1??1. ?C?P?Y??2X?1??1.
【答案】?D?
?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.
【考点】相关系数的概念、随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★ 【详解】
解析：用排除法
设Y?aX?b，由?XY?1，已知X,Y正相关，得a?0，排除?A?、?C? 由X~N(0,1),Y~N(1,4)，得
EX?0,EY?1,E(Y)?E(aX?b)?aEX?b 1?a?0?b, b?1
排除?B?
故选择?D?
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. 【答案】y?1 x【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★ 【详解】
解析：由已知等式，得
1dy?ydydx?????lny?lnx?C1，所以?x?C，又
ydxx?yxy(1)?1，所以y?1. x（10）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. 【答案】y?x?1
【考点】隐函数求导，导数的几何意义，平面曲线的切线 【难易度】★★★ 【详解】
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?1?1Fxy?x解析：设F(x,y)?sin(xy)?ln(y?x)?x，斜率k??， ??1Fyxcos(xy)?y?xycos(xy)?在(0,1)处，k?1，所以切线方程为y?1?x，即y?x?1
（11）已知幂级数
?a?x?2?nn?0?n在x?0处收敛，在x??4处发散，则幂级数
?a?x?3?nn?0?n的收敛域为?????????????????. 【答案】(1,5]
【考点】幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】 解析：由题意知
?a(x?2)nn?0?n在x?0处收敛，在x??4处发散，由平移不改变敛散性知，
?a?x?3?nn?0?n在x?5处收敛，在x?1处发散，因此，当x?3?5?3?2时绝对收敛，
当x?3?1?3?2时发散，所以收敛半径R?2，收敛区间为x?3?2，即?1,?5?，又已知x?1处发散，x?5处收敛，所以
22?a(x?3)nn?0?n的收敛域为(1,5].
（12）设曲面?是z?4?x?y的上侧，则
2xydydz?xdzdx?xdxdy??????????????????. ???【答案】4?
【考点】第二类曲面积分的计算，高斯公式，三重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】
:x+y?4，法向量朝下. 解析：补一个面D??222xydydz?xdzdx?xdxdy?xydydz?xdzdx?xdxdy?x??ò????dxdy ???DD上22????ydxdydz???x2dxdy?0??D上1x2?y2dxdy ??2D上?212?2d?rrdr?4? ??002第 5 页 共 15 页
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