定积分讲义

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第六章 定积分及其应用

积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．

§ 定积分的概念与性质

1. 定积分的定义

我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积

设y?f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线

x?a, x?b及x轴所围成的平面图形(图6—1)称为f(x)在[a,b]上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积． y

y?f(x) o a?x0 xi?1 ?i xi xn?b x 图6—1

我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高f(x)是随x而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：

2

(1) 分割 在[a,b] 中任意插入n?1个分点

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把[a,b]分成n个子区间[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn?1,xn]，每个子区间的长度为

?xi?xi?xi?1 (i?1,2,?,n)．

(2) 近似求和 在每个子区间[xi?1,xi] (i?1,2,?,n)上任取一点?i，作和式

?f(?)?x

iii?1n(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A)．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有

?f(?i)?xi?A．

i?1n例2 求变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，其速度v是时间t的连续函数v?v(t)．试求该物体从时刻

t?a到时刻t?b一段时间内所经过的路程s．

因为v?v(t)是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．

(1) 用分点

a?t0?t1?t2???tn?1?tn?b

把时间区间[a,b]任意分成n个子区间(图6—2)： [t0,t1]，[t1,t2]，…，[tn?1,tn]． 每个子区间的长度为?ti?ti?ti?1 (i?1,2,?n)．

o a?t0 t1 t2 tn?1 tn?b t图6—2

(2) 在每个子区间[ti?1,ti] (i?1,2,?n)上任取一点?i，作和式

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