历年(95-10)全国初中数学竞赛（联赛）分类题型详解-几何(4)

历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)

证明题 (9道题)

1.材已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

1995年全国初中数学联赛试题

证法1：如图6，连DF，则由已知，有

连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，

得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．

由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．

证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．

2. 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点

（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

1996年全国初中数学联赛试题

证 作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

3．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作

DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

A D P E O

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

解：DP=PE. 证明如下：

B C 因为AB是⊙O的直径，BC是切线， 所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

EPAE? . ① BCAB又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC. 故

EDAEAE2AE ② ???BCOB1ABAB2由①，②得 ED=2EP. 所以 DP=PE.

4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

CD2?BD2AD?BD?（1）当点D在斜边AB内部时，求证：. 2BCAB（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

C B

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 证：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得

D A

CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)?CE2?BE2?(CE?BE)BC. E B 2

C D 2A

CD?BDCE?BECEBE???. 2BCBCBCBCCEADBEBD?,?因为DE∥AC，所以 . BCABBCAB所以

CD2?BD2ADBDAD?BD???故 . 2ABABABBC（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

CD2?BD2AC2?AB2?BC2????1， 所以 222BCBCBCAD?BD?AB???1.

ABAB从而第（1）小题中的等式成立.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

CD?BDCE?BE?BC2BC2

CE?BE2CE????1?,BCBCAD?BD?AB???1, 而

ABABCD2?BD2AD?BD?所以 .

ABBC22222 E C B A D

5. 如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C，D两点. 连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点. 求证：

（1）

BPNQ?； PMQB （2）△KPM∽△NQK

CPQBNKADM 2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

6．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．