【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；
19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；
…………………
1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一组中取前9个数，
共取出9?111?999（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．
方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数） ?1,10,19,28,?,1990?，共计222个数
?2,11,20,29,?,1991?，共计222个数 ?3,12,21,30,?,1992?，共计222个数 ?4,13,22,31,?,1993?，共计222个数 ?5,14,23,32,?,1994?，共计222个数 ?6,15,24,33,?,1986?，共计221个数 ?7,16,25,34,?,1987?，共计221个数 ?8,17,26,35,?,1988?，共计221个数 ?9,18,27,36,?,1989?，共计221个数
每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111?9?999个数
【巩固】 (南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些
数种没有两数的差是5的倍数．
【解析】 构造公差为5的数列，如图，有五条链，看成5个抽屉，每条链上取1个数，最多取5个数．
1－6－11－16－21－26－31－36 2－7－12－17－22－27－32 3－8－13－18－23－28－33 4－9－14－19－24－29－34 5－10－15－20－25－30－35
【例 26】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、
11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．
【解析】 把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8 第2组：3，6，12 第3组：5，10 第4组：7 第5组：9 第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．
选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2?2?1?1?1?1?8个．
如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9?4?5个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．
【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数． 【解析】 把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，
(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．
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【例 27】 从1，3，5，7，?，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一
个数的倍数?
【解析】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，
于是从35开始，1～99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．
评注：1～2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).
【例 28】 从整数1、2、3、?、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，
其中的一个是另一个的倍数.
【解析】 把这200个数分类如下：
(1)1，1?2，1?22，1?23，…，1?27，
(2)3，3?2，3?22，3?23，…，3?26， (3)5，5?2，5?22，5?23，…，5?25，
…
(50)99，99?2， (51)101， (52)103， … (100)199，
以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.
【例 29】 从1，2，3，??49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，
则最多能取出多少个数？
【解析】 将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数
的个数分别为7，8，7，7，7，7，7.被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个． 所以最多可以取出8?7?7?1?23个
【例 30】 从1，2，3，?，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有
两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．
【解析】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的
数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而
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现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证． (2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．
(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．
最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．问题得证
【例 31】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排
成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?
【解析】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：
(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)； (2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)； ? ? ? ? ? ? ?
(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)； (9×10)、(9×11).
因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．
例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l～18号，共18个孩子．
若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．
那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．
【例 32】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？
【解析】 每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5
种各不相同的个数，共有：1?2?3?4?5??15，61?15?4?1，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．
【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的
本数相同？
【解析】 每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、
8、9、10、11这11种各不相同的本数，共有：1+2+3+?+11=66本，400?66?6?4，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本数+的各6人，还剩4本书，要使每个人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本书相同．
【例 34】 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶
数？
【解析】 需先跟学生介绍奇偶性：奇数?奇数?偶数；奇数?偶数?奇数；偶数?偶数?偶数。
先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 15 of 23
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．
【例 35】 （难度等级 ※※※）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间
的距离不大于1厘米？
【解析】 把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）．
将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根据
抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米．
【巩固】 在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米．
5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法．把1米长的【解析】
直尺平均划分成四段，每一段25厘米，把这四段看成四个抽屉．当把五个点随意放入四个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉里面有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25厘米，所以结论成立．
【巩固】 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米． 【解析】 把这条小路分成每段1米长，共100段每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是
101个苹果，于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段有两棵或两棵以上的树.
【巩固】 (《小数报》数学竞赛初赛试题)在20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几
盆花之间的距离不超过2米．
（11?1）?20(米)．另一方面，可以使开始【解析】 如果每两盆之间的距离都超过2米，那么总距离超过2?的10盆每两盆之间距离略大于2米，而最后两盆之间小于2米．所以，至少有两盆之间的距离不超过2米．
【巩固】 在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于
2米．
【解析】 第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离了，
再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米）．第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的．
【例 36】 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．
【解析】 将边长为3的正三角形等分为9个小正三角形，根据抽屉原理，10个点中必有两个点落入同一个
小正三角形的内部或边上，那么这两个点之间的距离不会超过小正三角形的边长，故必有两个点的距离不大于1．
【巩固】 边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.
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