【解析】 5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么
这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于0.5。可以继续拓展：边长为1的等边三角形内，若
1有n2?1个点，则至少存在2点距离小于.
n
【巩固】 在边长为1 的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面
积不超过0.125
【解析】 如图，用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形，我们把四个面积为0.25的正方
形看成4个抽屉，9个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125 【巩固】 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的
面积不超过1平方米．
【解析】 将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”，有：28?9?3?1，
则必有一个小正方形里(上)至少有3?1?4(个)点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积为1平方米；若有一个点落在正方形的内部或边上，则面积将小于1平方米．综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．
【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形
中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
【解析】 如右图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉原理知必然有3个点在同一个区域，那么由这3
个点所构成的三角形的面积必然小于该区域的一半，即长方形面的四分之一。
【例 37】 在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米 【解析】 将圆分成六个面积相等的扇形，这六个扇形可以看成六个抽屉，七个点看成七个苹果，这样必有
一个抽屉有两个苹果，即一定有两个点的距离不大于1厘米
【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必
有9个点可以落在同一半径为1的圆内。
O1O2 【解析】 如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心，以1为
半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内。如果这17点中，有两点之间距离不小于1(即大于或等于1)，设这两点为O1、O2，分别以O1、O2为圆心，1为半径作两个圆(如图)。把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1，因此其他15个点中每一点，到
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O1、O2的距离必有一个小于1。也就是说这些点必落在某一个圆中。根据抽屉原理必有一个圆至少包含这15个点中的8个点。由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点。
【例 38】 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条
直线中至少有3 条通过同一个点。
AN HDEPQFBGMC
【解析】 设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。设直线MN把正方形ABCD分成两个长方
形ABMN和CDNM，并且与EF相交于P（如图）,长方形ABMN的面积:长方形CDNM的面积?2:3，如果把直线MN绕P点旋转一定角度后，原来的两个长方形就变成两个梯形，根据割补法两个梯形的面积比也为2:3，所以只要直线MN绕P点旋转，得到的两个梯形的面积比为2:3，所以将长方形分成2:3的两个梯形必定经过P点，同样根据对称经过Q点的直线也是满足条件的直线，同理我们还可以找到把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3 的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由抽屉原理可知，9?4?2?1，所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。 【例 39】 如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及
对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．
【解析】 从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手。由1，2，3组成的和中最小为8?1?8，
最大的为8?3?24，8~24中共有17种结果，而8行8列加上对角线共有18个和，根据抽屉原理，必有两和是相同的，所以此题不能满足要求．
【巩固】 在8?8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1?4四个自然数中的任意一个，填满后对每个2?2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？
【解析】 先计算出在8?8的方格中，共有2?2“田”字形：7?7?49(个)，在1?4中任取4个数(可以重
复)的和可以是4?16中之一，共13种可能，根据抽屉原理:49?13?3?10，至少有3?1?4个“田”字形内的数字和是相同的． 【巩固】 用数字1，2，3，4，5，6填满一个6?6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，
将每个2?2正方格内的四个数字的和称为这个2?2正方格的“标示数”．问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．
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【解析】 先计算出每个2?2正方格内的四个数字的和最小为4，最大为24，从4到24共有21个不同的值，
即有21个“抽屉”；再找出在6?6的方格表最多有：5?5?25(个)2?2正方格的“标示数”，即有25个“苹果”．25?21?1?4,根据抽屉原理，必有两个“标示数”相同．
【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每
行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．
【解析】 大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和最小是10，最大是30．因为从10到30之间
只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看作21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的数字和共有22个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同是不可能的．
【例 40】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图① ，A、B、C、D四
只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部
糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有 粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.
A
B
D
C
图① 图②
【解析】 有两种方法（填出一种即可），如下图
2
113
4
67
2
【巩固】 (南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题)如右图A、B、C、D四只小盘
拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也
可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.
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A
B
D
C
【解析】 最多为13种.因为取1只盘子有4种取法；取3只盘子（即有1种盘子不取），也有四种取法；取4
只盘子只有1只取法；取两只相邻的盘子，在第1只取定后，（依顺时针方向），第2只也就确定了，所以也有4种取法.共有3?4?1?13种取法.满足13种取法的糖果放法可以有无数多种.例题的解表明糖果数可以为1～13这13种.
【例 41】 如右图，分别标有数字1,2,?,8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数
字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．
【分析】 内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一
次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次.将这8次局面看成8个苹果，注意到一环每转动45?角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．
【巩固】 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友
的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．
【解析】 沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过8次转动后，
桌面又回到原来的位置．在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有8只“苹果”．另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在7次转动中，这样7次转动(即7个“抽屉”)将产生8位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字．
【例 42】 时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，?，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的
扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
111098765121234【解析】 （1）当n?8时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开1个数摆放，盖住的数分别是：（12，
1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，
7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住11，其中的3个扇形当然也不可能盖住全部12个数．
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