自主招生复习训练（二）～数列问题的研究

2012年自主招生复习与练习（二）

一、填空题

1. 等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?________ . 2. 等差数列{an}前n项和为Sn.已知am?1+am?1－a2m=0，S2m?1=38,则m=________ . 3. 等差数列｛an｝中，若Sp?q,Sq?p(p?q)，则Sp+q=________.

4. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S4?10,S5?15，则a4的最大值为________ . 5. 等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为________ .

6. 设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

Sn3n?1，那?Tn4n?3么

an?________ . bn7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S10=100，S20=400，则S30=________ . 8. 已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=3n+a,则S4=________ .

9.已知函数f(x)?2x,等差数列{an}的公差为2.若f(a2?a4?a6?a8?a10)?4,则

log2[f(a1)?f(a2)f(a3)???f(a10)]?________ .

110. 在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an?________ .

n11. 在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的可能值的取值集合是________ .

12.已知数列{an}中，an?n2??n，且｛an｝是递增数列，求实数?的取值范围________. 13. 求和：

5322*1153111?????________ . 1?44?7(3n?2)?(3n?1)14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn?n2?14n，令Tn?a1?a2???an，则Tn=_____________.

二、解答题

类型一：运用基本量求等差、等比数列的通向公式（方程组，两个未知数，两个方程，对应两个条件），应用公式求等差数列，等比数列的前n项和

15. 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3?7，且

a1?3，3a2，a3?4构成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn?lna3n?1，n?1求数列{bn}的前n项和T. ，2，?，

1

类型二：裂项求和，分组求和，错位相减求数列的前n项和

16.已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，…). (1)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)，并给出证明； (2)求数列{an}的前2n项和S2n.

17. 数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且

a1?3,b1?1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2?64.

（1）求an,bn；（2）求证

1113?????. S1S2Sn4

类型三：用累加法、累乘法或构造等差数列、等比数列求递推问题的通项公式，若已知an与Sn的关系式，则将关系式转化为an+1与an的递推，或Sn+1与Sn的递推 18. 在数列{an}中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1（n?2,q?0）. （1）设bn?an?1?an（n?N），证明{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式；

2

*（3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n?N，an是an?3与an?6的等差中项.

类型四：解决论证问题较为常用的结论和方法：(1)有理数和无理数不相等.(2) 用带余除法证明首项和公比均是正整数的等比数列中的每一项在某一等差数列中；(3)用分解因式法或夹逼法解不定方程.

2219. 设Sn是数列{an}（n?N*）的前n项和，a1?a，且Sn?3n2an?Sn?1，an?0，

*n?2，3，4，?．

（1）证明：数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列；

（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（n?N*）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项.

3

【实战演练】：

221.（2006年北大）已知f(x)?x?53x?196?x?53x?196,求f(1)?f(2)??f(50)。

22解：f(x)?x?53x?196?x?53x?196=(x?4)(x?49)?(x?4)(x?49)

?4?x?49时，(x?4)(x?49)?0，此时有f(x)?0 ?f(1)?f(2)??f(50)=f(1)?f(2)?f(3)?f(50)?660 小结：与函数结合的数列题，要注意利用好函数的特征. 2.(2001

复旦)设数列{bn}满足b1?1,bn?0(n?2,3,?),其前

n

项乘机

（1）证明{bn}是等比数列。（2）求{bn}中所有不同两项的乘积Tn?(an?1bn)n(n?1,2,?)，之和。

Tn?1(anbn?1)n?1bn?1n2n（1）证明：由题意bn?1???a?()?bn?1， n?1Tn(abn)bn 从而

1bn?11?2,?{bn}是公比为2的等比数列。

abna（2）解：{bn}中所有不同两项的乘积之和为：b1b2?b1b3???bn?1bn

当

1?1即a??1时， 2ab1b2?b1b3???bn?1bn

=[(b1?b2??bn)?(b1?b2??bn)]

122222111?(2)n1?(4)n1a]2?a] =[[121?11?a2a4(a2n?1)(a2n?2?1)=4n?62 a(a?1)(a4?1)2当a??1时，b1b2?b1b3???bn?1bn=[(b1?b2??bn)?(b1?b2??bn)]

12222n2?n=

2小结：注意运用等量变换. 3.（2005复旦保

送

推

优

）

定

义

在

R

上

的

函

数

4