武威六中2019—2020学年度第二学期第一次学段
考试 高二理科数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确的选项，共12小题，计60分。） 1．i2?i是( )
A．实数
B．虚数
C．0
D．1
2．用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1-300编号，按编号顺序平均分组.若第16组应抽出的号码为232，则第一组中抽出的号码是( ) A．5
B．6
C．7
D．8
，则m=( )
m D．15
3．若实数x,y的取值如表，从散点图分析，x,y线性相关，且回归方程为
x y
A．17
B．16.2
C．16
4．如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是( )
A．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定 B．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定 C．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定 D．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定
，二维测度（面积）
；在三维空间中，球的
5．在二维空间中，圆的一维测度（周长）二维测度（表面积）级球”的三维测度 A．
，三维测度（体积），则其四维测度为( ) B．
C．
.应用合情推理，若在四维空间中，“特
D．
6．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样
本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n的值为( )
A．900
B．1000
C．90
D．100
7．在集合M＝{x|0 B． x1 2C． 1 4D． 3 48．已知函数f?x??ax?e在?0,1?上不单调，则a的取值范围是( ) A．?0,1? B．?0,e? C．?1,e? D．(??,e) 9．已知函数f(x)?xlnx,若直线l过点(0,?1),且与曲线y?f(x)相切,则直线l的方程为( ) A．x?y?1?0 3B．x?y?1?0 22C．x?y?1?0 D．x?y?1?0 10．已知函数f?x??2x??6a?3?x?12ax?16a（a?0）只有一个零点x0，则a的取值范围为( ) A．???,???1?? 2?B．???1?,0? 2??C．???,???3?? 2?D．??,0? ?3?2??11．如图,阴影部分的面积是( ) 1 e1C．e??2 eA．e?21?1 e1D．e? eB．e? 12．已知函数f?x??ax?3ax?1 若f?x??f??x?对x?R恒成立则实数a的取值范围为( ) A．???,??4?? 13?B．0,??? ?C．?0,?4? ??13?D．0,??4? ??13?二、填空题（请将运算结果填在横线上。每小题5分，共计20分。） 113．（2?3x）dx? 0?214．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 15．在区间?0,1?上随机选取两个数x和y，则满足2x?y?0的概率为 16．若函数f(x)?13x?x2?3x?3a的图像与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 3二、解答题 3217．（10分）已知函数f(x)?4x?ax?bx?5的图象在x?1处的切线方程为y??12x （1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)在??3,1?上的最值. 18．（12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关， 现从高一学生中抽取100人做调查，得到2?2列联表： 男生 女生 合计 喜欢游泳 40 不喜欢游泳 30 合计 100 且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为（1）请完成上面的列联表； 3. 5（2）根据列联表的数据，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由. n?ad?bc?2K?附：（其中n?a?b?c?d）和临界值表： ?a?b??c?d??a?c??b?d?2P?K2?k0? 0.50 k0 0.45 0.40 0.708 0.25 1.32 0.15 0.10 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83 2.072 2.706 19．（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展， 有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的频率分布直方图. （1）求直方图中a的值，并估计销量的中位数； （2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销 售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计2020年的销售量. 20．（12分）已知函数f?x??lnx?mx（m为常数）． （1）当m?2时，求函数f?x?的图象在1,f?1?处的切线方程； ??（2）讨论函数f?x?的单调性． 21．（12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn?2an?n， （1）求a1，a2，a3，并猜想数列?an?的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 22．（12分）已知函数f?x??axe?x?2x. x2（1）当a?1时，求函数f(x)的极值； （2）当x???2,0?时，f(x)?1恒成立，求a的取值范围. 武威六中2019—2020学年度第二学期第一次学段考试 高二理科数学试卷参考答案 参考答案 一、选择题答案： 题号 选项 1 B 2 C 3 A 14 D 25 B 6 D 317 B 8 C 9 A 10 A 11 C 12 D 【解析】由题意，可知(2?3x)dx?(2x?x)|0?2?1?1，故答案为1. 13． 0?14.【解析】三件正品记为A1,A2,A3，一件次品记为B，任两件的所有可能为：A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B， 取 A3B共6种，其中两件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3共3种，所求概率为P?答案为 31?． 故621． 211??11 =22?12415．概率为几何概型，如图，满足2x?y?0的概率为S?OABS正方形216．f?(x)?x?2x?3??x?3??x?1?，所以当x?(??,?1)和(3,??)时，f?(x)?0，f(x)单 调递增，当x?(?1,3)时，f?(x)?0，f(x)单调递减，极大值f(?1)?5?3a，极小值35?3a?0132f(3)??9?3a，f?x??x?x?3x?3a的图像与x轴有三个不同的交点，所以{3， 3?9?3a?0得a?(?3,) （1）由题意得f'?x??12x?2ax?b， 17． 259Qy?f?x?在x?1处的切线方程为y??12x， ?f?(1)?12?2a?b??12?2a?b??24，即?， ∴ ?f(1)?4?a?b?5??12a?b??21??解得??a??332．∴ 函数的解析式为f?x??4x?3x?18x?5． ?b??182（2）由（1）得f'?x??12x?6x?18?6?x?1??2x?3?， ∴ 当?3?x??1时，f'?x??0,f?x?单调递增， 当?1?x?1时，f'?x??0,f?x?单调递减. ∴ 当x??1时，f?x?有极大值，且极大值为f??1??16． 又f??3???76,f?1???12， ∴ f?x?在?3,1上的最小值为?76，最大值为16． （1）因为在100人中随机抽取1人喜欢游泳的概率为18． ??3. 5所以喜欢游泳的人数为100? 男生 女生 合计 3?60，所以2?2列联表如下： 5喜欢游泳 40 20 60 2不喜欢游泳 10 30 40 合计 50 50 100 100??40?30?20?10?50（2）?2???10.828，所以有99.9%的把握认为“喜欢游泳与性别 60?40?50?503有关系”. （1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 19． 则?0.0125?a?0.075?0.025?2??4?1，解得a?0.1125， 由于?0.0125?0.1125??4?0.5，因此，销量的中位数为16； （2）由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为 ，有4?17?68万台 10?0.05?14?0.45?18?0.3?22?0.1?26?0.1?17（万台）由此预测2020年的销售量为68万台. 【详解】 20． （1）当m?2时，f??x??1?2，则切线的斜率k?f??1???1． x又f?1??ln1?2?1??2，所以切线方程为y???2???1?x?1?，即x?y?1?0． （2）f??x??11?mx，x?0， ?m?xx当m?0时，由1?mx?0解得x?11，即当0?x?时，f??x??0，f?x?单调递增， mm由1?mx?0解得x?11，即当x?时，f??x??0，f?x?单调递减， mm1?0，即f?x?在?0,???上单调递增， x当m?0时，f??x??当m?0时，1?mx?0，故f??x??0，即f?x?在?0,???上单调递增， 综上:当m?0时，f?x?的单调递增区间为?0,当m?0时，f?x?在?0,???上单调递增. 【解析】 21． ??1??1?,??，单调递减区间为???； m?m??（2）检验n?1时等式成立，假设n?k时命题成立，证明当n?k?1时命题也成立即可. 【详解】 （1）QSn?2an?n，当n?1时，a1?1，且Sn?1?2an?1?n?1， 于是an?1?2an?1，从而可以得到a2?3，a3?7，猜想通项公式an?2n?1； （2）下面用数学归纳法证明：an?2n?1． ①当n?1时，a1?1满足通项公式； k②假设当n?k时，命题成立，即ak?2?1， 由（1）知ak?1?2ak?1?22?1?1，ak?1?2k?1?1，即证当n?k?1时命题成立. 由①②可证an?2n?1成立． 22.（1）当a?1时，f(x)?xe?x?2x,令f'(x)?0，得x1??1,x2?1n2. t2?k?f?(x)?xex?ex?2x?2?(x?1)?ex?2?, x （－?，－1） + ↗ －1 0 极大值 （－1，ln2） － ↘ ln2 0 极小值 （ln2，+?） + ↗ f'(x)f(x) 1所以，f(x)极大值=f??1??1?； f(x)极大值?f(ln2)??(ln2)2 e（2）当x???2,0?时，f(x)?1恒成立，, 等价于当x???2,0?时，axex?x2?2x?1， 即axex?x2?2x?1，因为x???2,0?， x2?2x?1x2?2x?1(x2?1)(x?1)所以a?， 令h(x)=，x???2,0?， h'(x)=－, xx2xxexexex （－2，－1） + －1 0 （－1，0） － h'(x) h(x) ↗ 极大值 ↘ 则h(x)max?h??1??0， 因此a?0，即a??0,???.
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