→→
【例1】 (1)在四边形ABCD中，BC＝AD，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
→1→2→A.AF＝3AC＋3BD →1→2→C.AF＝4AC＋3BD
→2→1→B.AF＝3AC＋3BD →2→1→D.AF＝3AC＋4BD
→→12
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC.若DE＝λ1AB→
＋λ2AC(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
→→1
(1)B (2) [(1)在四边形ABCD中，如图所示，因为BC＝AD，所以四边形ABCD
2→1→→1→→
为平行四边形．由已知得DE＝3EB，由题意知△DEF∽△BEA，则DF＝3AB，所以CF＝→→→→→→→→→→→BD－AC2→22?→→?2BD－ACBD－AC
＝，所以AF＝AC＋CF＝AC＋＝3AC
3CD＝3?OD－OC?＝3×2331→
＋BD，故选B. 3
→→→1→2→1→2→→1→2→1(2)DE＝DB＋BE＝2AB＋3BC＝2AB＋3(BA＋AC)＝－6AB＋3AC，所以λ1＝－6，λ221＝3，即λ1＋λ2＝2.] [规律方法] 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． →→ (1)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( )
→1→4→A.AD＝－3AB＋3AC →4→1→C.AD＝3AB＋3AC
→1→4→B.AD＝3AB－3AC →4→1→D.AD＝3AB－3AC
→→→→→→→
(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.
→→11
(1)A (2) － [(1)因为BC＝3CD，
26→1→
所以CD＝3BC，
→→→→1→→1→→1→4→
所以AD＝AC＋CD＝AC＋3BC＝AC＋3(AC－AB)＝－3AB＋3AC.故选A. →→→1→1→1→1→→1→1→
(2)由题中条件得，MN＝MC＋CN＝3AC＋2CB＝3AC＋2(AB－AC)＝2AB－6AC＝→→11xAB＋yAC，所以x＝2，y＝－6.]
共线向量定理的应用 【例2】 设两个非零向量a与b不共线， →→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→
∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k－1＝0，∴k＝±1. [规律方法] 共线向量定理的3个应用 (1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线． →→(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB＝λAC，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． →→→ (1)已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 C．A，C，D三点共线
B．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
2
(2)(2019·黄山模拟)已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为( )
1A．－4 B．－4
1C.4
D．4
→→→→→→
(1)B (2)B [(1)∵BD＝BC＋CD＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB，∴BD，AB共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B.
(2)由题意知m＝kn，即4a＋b＝k(a－λb)． k＝4，???k＝4，
∴?解得?1－kλ＝1，λ＝－4，???
故选B.]
→1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
3→1→A.4AB－4AC 3→1→C.4AB＋4AC
1→3→B.4AB－4AC 1→3→D.4AB＋4AC
→→→→3→1→1→→
A [由题可得EB＝EA＋AB＝－4(AB＋AC)＋AB＝4AB－4AC，故选A.]
→
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→
＋FC＝( )
→A.BC →C.AD
1→B.2AD 1→D.2BC
→→→→→→
C [如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC
→→1→→＝EC＋FB＝2(AC＋AB) 1→→＝2·2AD＝AD.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
1
[∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 2
?λ＝t，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴?
?1＝2t，
1λ＝??2，解得?1
t＝??2.
]
自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________
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